2010-2011学年湖南省长沙市雅礼中学高三月考数学试卷1（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

满足条件{1}⊆M⊆{1，2，3}的集合M的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

2. 难度：中等

下面命题是真命题的是（ ）
A．∀x∈R，x³≥
B．∃x∈R，使x²+1＜2
C．∀xy＞0有x-y≥2
D．∃x，y∈R使sin（x+y）=sinx-siny

3. 难度：中等

若函数f（x）在定义域R上处处可导，则命题“f（x）的增函数”是命题“∀x∈R，f′（x）＞0”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件

4. 难度：中等

给出以下四个命题：
①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤-1，则x²+x+q=0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．
其中真命题是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④

5. 难度：中等

若函数f（x）=xlg为偶函数，则a的值为（ ）
A．0
B．-1
C．1
D．不存在

6. 难度：中等

若函数f（x）=lg（ax²-2x+1）的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1
B．a＞1
C．0＜a≤1
D．0≤a≤1

7. 难度：中等

∀x∈R，有f（x）+f（2-x）+2=0，则函数y=f（x）的图象关于（ ）
A．直线x=1对称
B．直线x=2对称
C．点（1，-1）对称
D．点（-1，1）对称

8. 难度：中等

已知f（x）=-x²+4x，给定x₁，数列{x_n}满足x_n=f（x_n-1）（n=2，3，4，…），若无穷个项的数列{x_n}中的项能取的不同的值为有限个，则x₁的不同的值的个数m满足（ ）
A．m=0
B．1≤m≤5
C．m＞5且m只有有穷个
D．m有无穷个

二、填空题

9. 难度：中等

log₅35-log₅7的值为    ．

10. 难度：中等

函数f（x）=的定义域为    ．

11. 难度：中等

∫⁴|x-2|dx=    ．

12. 难度：中等

幂函数f（x）=（3-2m），（m∈Z）当x＞0时是减函数，则f（x）=    ．

13. 难度：中等

设集合A={x|∈Z，x∈N}则A=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-1）ln（1-x），则
（1）f（x）＞0的解集为    ；
（2）f（x）的最大值为    ．

15. 难度：中等

一个同学在纸上写了一个实系数二次方程x²+ax+b=0（ab≠0），如果此方程有两实根，它们分别记为p，q，且p≤q，则他在纸上又写一个方程x³+px+q=0，重复上面的工作，直到产生一个无实根的二次方程为止．
（1）当a=-34，b=48×14，纸上写的实系数方程有    个；
（2）当a=-14，b=48时，这个同学在纸上写的实系数方程至多有    个．

三、解答题

16. 难度：中等

已知命题p：曲线-=1为双曲线；命题q：函数f（x）=（4-a）^x在R上是增函数；若命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

如图，△OAB是斜边长为4的等腰直角三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．
（Ⅰ）求函数f（t）的解集；
（Ⅱ）画出函数y=f（t）的图象．

18. 难度：中等

函数y=f（x）是奇函数，它的定义域为R，当x＞0时，f（x）=x²-x-4．
（Ⅰ）当x≤0时，求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求不等式f（x）＜2的解集．

19. 难度：中等

有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）．
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V₁；
（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V₂＞V₁．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（8-x-）在区间[1，2]上恒有意义．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）把函数f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差M表示成实数a的函数．

21. 难度：中等

如图，在函数y=x³-x的图象上取4个点A_i（x_i，y_i），过点A_i作切线l_i（i=1，2，3，4），如果l₁∥l₃，且l₁，l₂，l₃，l₄围成的图形是矩形记为M．
（1）证明四边形A₁A₂A₃A₄是平行四边形；
（2）问矩形M的短边与长边的比是否有最大值，若有，求l₁与l₂的斜率，若没有，请证明．