2009-2010学年浙江省宁波市余姚中学高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|y=x²-1}，B={y|y=x²-1}，C={（x，y）|y=x²-1}，则下列关系中不正确的是（ ）
A．A∩C=∅
B．B∩C=∅
C．B⊆A
D．A∪B=C

2. 难度：中等

下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

不等式ax＞b，（b≠0）的解集不可能是（ ）
A．∅
B．R
C．
D．

4. 难度：中等

若f（x）=，则f（f（））=（ ）
A．
B．2
C．e
D．

5. 难度：中等

已知平面向量=（1，-3），=（4，-2），与垂直，则λ是（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

6. 难度：中等

在锐角△ABC中，若lg （1+sinA）=m，且lg=n，则lgcosA等于（ ）
A．（m-n）
B．m-n
C．（m+）
D．m+

7. 难度：中等

若a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，且α=a+，β=b+，则α+β的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

8. 难度：中等

如图所示的曲线是函数f（x）=x³+bx²+cx+d的大致图象，则x₁²+x₂²等于（ ）

A．
B．x₂
C．
D．

9. 难度：中等

已知数列{a_n}，a₁=1，前n项和为S_n，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

给出下列四个命题，其中错误的命题有（ ）个．
（1）函数f（x）=e^x-2的零点落在区间（0，1）内；
（2）函数y=sin2x+cos2x在x上的单调递增区间是[0，]；
（3）设A、B、C，且sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，则B-A 等于-；
（4）方程sin²x+2sinx+a=0有解，则a的取值范围是[-3，1]．
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

11. 难度：中等

正项的等差数列{a_n}中，2a₃-a₇²+2a₁₁=0，数列{b_n}是等比数列，且b₇=a₇，则b₆b₈=    ．

12. 难度：中等

过双曲线左焦点F₁的弦AB长为6，则△ABF₂（F₂为右焦点）的周长是    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=    ．

14. 难度：中等

已知均为单位向量，且它们的夹角为120°，当||（λ∈R）取最小值时，λ=    ．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为    ．

16. 难度：中等

已知函数（x∈R）的最大值为M，最小值为m，则M+m=    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-5x+10，当x∈（n，n+1]，n∈N₊时，函数f（x）的值域为D_n，将D_n中整数的个数记为a_n，则a₁=    ；a_n=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，设S_n为它的前n项和，若S₅=35，且点A（3，a₃）与点B（5，a₅）都在斜率为-2的直线上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n的最大值．

19. 难度：中等

在△ABC中，
（Ⅰ）求AB的值．
（Ⅱ）求的值．

20. 难度：中等

已知函数，x=2是f（x）的一个极值点．
（1）求b的值；
（2）若直线y=2x和此函数的图象相切，求a的值；
（3）若当x∈[1，3]时，恒成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且4a_n-2S_n=1，数列{b_n}满足b_n=2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项a_n与{b_n}的前n项和T_n；
（2）设数列{}的前n项和为U_n，求证：0＜U_n≤4．

22. 难度：中等

已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+，当x∈[-3，-1]时，n≤f（x）≤m恒成立．
（Ⅰ） 若a=1，求m-n的最小值；
（Ⅱ） 求m-n的最小值g（a）；
（Ⅲ）当a＞16时，是否存在k∈（1，2]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意x∈R恒成立？若存在，求出实数k的范围；若不存在，请说明理由．