2009-2010学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列各数中：，，0i，5i+8，，0.618纯虚数的个数有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

2. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-4
D．4

3. 难度：中等

看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是（ ）
A．从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达
B．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
C．方程x²-1=0有两个实根
D．求1+2+3+4+5的值，先计算1+2=3，再由3+3=6，6+4=10，10+5=15，最终结果为15

4. 难度：中等

从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

某社区有400个家庭，其中高等收入家庭120户，中等收入家庭180户，低收入家庭100户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本记作①；某校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②；那么，完成上述2项调查应采用的抽样方法是（ ）
A．①用随机抽样法，②用系统抽样法
B．①用分层抽样法，②用随机抽样法
C．①用系统抽样法，②用分层抽样法
D．①用分层抽样法，②用系统抽样法

6. 难度：中等

下列推理正确的是（ ）
A．把a（b+c）与log_a（x+y）类比，则有：log_a（x+y）=log_ax+log_ay
B．把a（b+c）与sin（x+y）类比，则有：sin（x+y）=sinx+siny
C．把（ab）ⁿ与（a+b）ⁿ类比，则有：（x+y）ⁿ=xⁿ+yⁿ
D．把（a+b）+c与（xy）z类比，则有：（xy）z=x（yz）

7. 难度：中等

如果椭圆上一点P到它右焦点的距离是3，那么点P到左焦点的距离为（ ）
A．5
B．1
C．15
D．8

8. 难度：中等

已知命题p：存在x∈R，使tanx=1，命题q：x²-3x+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧￢q”是假命题；
③命题“￢p∨q”是真命题；
④命题“￢p∨￢q”是假命题．
其中正确的是（ ）
A．②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④

9. 难度：中等

曲线与曲线（k＜9）的（ ）
A．焦距相等
B．长、短轴相等
C．离心率相等
D．准线相同

10. 难度：中等

过点（0，2）与抛物线y²=8x只有一个公共点的直线有（ ）
A．无数多条
B．3条
C．2条
D．1条

11. 难度：中等

若双曲线x²-y²=1的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为（ ）
A．-
B．
C．±
D．±2

12. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=x³+ax²+（a-3）x的导函数是f′（x），若f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（ ）
A．y=-3
B．y=-2
C．y=3
D．y=2

13. 难度：中等

设P是双曲线上的一点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，则以线段PF₂为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是（ ）
A．内切
B．外切
C．内切或外切
D．不相切

14. 难度：中等

曲线f（x）=x³+x-2在p处的切线平行于直线y=4x-1，则p点的坐标为（ ）
A．（1，0）
B．（2，8）
C．（2，8）和（-1，-4）
D．（1，0）和（-1，-4）

15. 难度：中等

在同一坐标系中，方程a²x²+b²y²=1与ax+by²=0（a＞b＞0）的曲线大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

16. 难度：中等

若直线x-y=2与抛物线y²=4x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是    ．

17. 难度：中等

下面是一个算法的流程图，回答下面的问题：当输入的值为5时，输出的结果为    ．

18. 难度：中等

从1=1²，2+3+4=3²，3+4+5+6+7=5²中，可得到一般规律为    ．（用数学表达式表示）

19. 难度：中等

已知点P是椭圆上的在第一象限内的点，又A（2，0）、B（0，1），O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是    ．

20. 难度：中等

已知两点M（-5，0），N（5，0），给出下列直线方程：①5x-3y=0；②5x-3y-52=0；③x-y-4=0；则在直线上存在点P满足|MP|=|PN|+6的所有直线方程是     （只填序号）．

三、解答题

21. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+12x，（1）求函数的单调区间；（2）当x∈[-3，1]时，求函数的最大值与最小值．

22. 难度：中等

已知三点P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）．
（Ⅰ）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆标准方程；
（Ⅱ）设点P、F₁、F₂关于直线y=x的对称点分别为P′、F₁′、F₂′，求以F₁′、F₂′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．

23. 难度：中等

某高校在进行自主招生面试时，共设3道试题，每道试题回答正确给10分、否则都不给分．
（Ⅰ）某学生参加面试得分为20分的情况有几种？
（Ⅱ）若某学生对各道试题回答正确的概率均为，求他至少得10分的概率．

24. 难度：中等

设函数（a为常数），且f（x）在[1，2]上单调递减．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a取得最大值时，关于x的方程f（x）=x²-7x-m有3个不同的根，求实数m的取值范围．

25. 难度：中等

已知椭圆C₁的方程为+y²=1，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足•＜6（其中O为原点），求k的取值范围．