2010-2011学年北京市延庆县高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

向量对应的复数是（ ）
A．3+6i
B．6+3i
C．3+3i
D．6+6i

2. 难度：中等

满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A．一条直线
B．两条直线
C．圆
D．椭圆

3. 难度：中等

菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等，以上三段论推理中错误的是（ ）
A．大前提
B．小前提
C．推理形式
D．大小前提及推理形式

4. 难度：中等

若质点M按规律s=t³-2t运动，则t=3秒时的瞬时速度为（ ）
A．7
B．11
C．25
D．29

5. 难度：中等

对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-2）f'（x）≥0，则必有（ ）
A．f（1）+f（3）＜2f（2）
B．f（1）+f（3）≥2f（2）
C．f（1）+f（3）≤2f（2）
D．f（1）+f（3）＞2f（2）

6. 难度：中等

曲线y=sin²x+6在处的切线的倾斜角是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数y=x⁴-4x+3在区间[-2，3]上的最小值为（ ）
A．72
B．36
C．12
D．0

8. 难度：中等

函数y=的极大值为（ ）
A．3
B．4
C．2
D．5

9. 难度：中等

曲线y=4x和y=3x²-2x所围成图形的面积（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

10. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足：f（2+x）=f（2-x），若方程f（x）=0有且只有三个不等实根，且0是其中之一，则方程的另外两个根必是（ ）
A．-2，2
B．-1，4
C．1，-1
D．2，4

11. 难度：中等

已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是（ ）
A．（10，1）
B．（2，10）
C．（5，7）
D．（7，5）

12. 难度：中等

设函数，的零点分别为x₁，x₂，则（ ）
A．0＜x₁x₂＜1
B．x₁x₂=1
C．1＜x₁x₂＜2
D．x₁x₂≥2

二、填空题

13. 难度：中等

设z∈C，且（1+2i）=4+3i（i为虚数单位），则z=    ，|z|=    ．

14. 难度：中等

用反证法证明命题“如果a＞b，那么”时，应假设    ．

15. 难度：中等

函数f（x）=x-lnx的单调减区间为    ．

16. 难度：中等

曲线y=e^x在点（2，e²）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为     ．

17. 难度：中等

若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，则此四面体的体积V=    ．

18. 难度：中等

如图所示的是函数f（x）=x³+bx²+cx+d的大致图象，则x₁²+x₂²等于    ．

三、解答题

19. 难度：中等

已知复数．
（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：①实数； ②虚数；③纯虚数；
（Ⅱ）在复平面内，若复数z所对应的点在第二象限，求m的取值范围．

20. 难度：中等

（Ⅰ）已知a＞0b＞0，c＞0，求证：a（b²+c²）+b（a²+c²）+c（a²+b²）≥6abc．
（Ⅱ）已知a≥3，求证：．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足．
（Ⅰ）依次计算a₂，a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法进行证明．

22. 难度：中等

将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比（强度系数为k，k＞0）．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应是多少？

23. 难度：中等

已知函数f（x）=x²e^ax，其中a≥0，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-1，0]上的最大值．

24. 难度：中等

已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx（a，b，c∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，求实数t的最小值；
（Ⅲ）当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式．