2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x≠1，x∈R}，A∪B=R，则集合B不可能是（ ）
A．{x|x＞-1，x∈R}
B．{x|x＜-1，x∈R}
C．{x|x≠-1，x∈R}
D．{0，1}

2. 难度：中等

已知sin36°=a，则sin108°等于（ ）
A．3a
B．3a-4a³
C．3a+4a³
D．

3. 难度：中等

已知a，b，c均为正数，且都不等于1，若实数x，y，z满足，则abc的值等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

将正整数中所有被7整除的数删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列{a_n}，则a₁₀₀等于（ ）
A．114
B．115
C．116
D．117

5. 难度：中等

今有一组实验数据如下：

x		1	2	3	4
y	1	5	3	1	2

最能近似地表达这些数据规律的函数模型是（ ）
A．y=b•a^x
B．y=bx²+ax+1
C．y=x（x-a）²+b
D．y=Asin（ωx+φ）+B

6. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+bx+c，若方程f（x）=x无实根，则（ ）
A．对一切实数x，不等式f[f（x）]＞x都成立
B．对一切实数x，不等式f[f（x）]＜x都成立
C．存在实数b和c，使得不等式f[f（x）]＜x对一切实数x都成立
D．不存在实数b和c，使得不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立

7. 难度：中等

某流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）

A．f（x）=2
B．f（x）=x³+1
C．f（x）=tan
D．

8. 难度：中等

已知点O是△ABC所在平面内的一点，且AB：BC：CA=5：4：3，下列结论错误的是（ ）
A．点O在△ABC外
B．S_△AOB：S_△BOC：S_△COA=6：3：2
C．点O到AB，BC，CA距离的比是72：45：40
D．O，A，B，C四点共圆

二、填空题

9. 难度：中等

函数的最小正周期是    ．

10. 难度：中等

设是两个不共线的向量，若向量与向量共线且方向相同，则λ=    ．

11. 难度：中等

已知a，b满足约束条件：，则a+b的最大值等于    ．

12. 难度：中等

已知函数，则    （填“＞”或“＜”）．

13. 难度：中等

现有1000个苹果，分别装到10个箱子里，要求可随意拿到任何数目的苹果但不拆箱，是否可行？若行，每个箱子放的苹果数分别是多少？若不行，请说明理由；    ．

14. 难度：中等

记设，其中x，y∈R⁺，则t的最小值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，G为△ABC的重心，且满足．
（1）证明：a²，b²，c²成等差数列；
（2）求函数的最大值．

16. 难度：中等

已知函数，
（1）若方程f（x）=0有正根，求实数a的取值范围；
（2）设g（x）=|xf（x）|，且g（x）在区间[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知斐波那契数列{F_n}满足：F₁=1，F₂=1，F_n+2=F_n+1+F_n（n∈N*），若数列{F_n+1+λF_n}是等比数列（λ为实常数）．
（1）求出所有λ的值，并求数列{F_n}的通项公式；
（2）求证：．