2008-2009学年江苏省扬州中学高三（下）2月月考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知α的终边经过点（3a-9，a+2），且sinα＞0，cosα＜0，则a的取值范围是     ．

2. 难度：中等

如果复数（m²+i）（1+mi）是实数，则实数m=    ．

3. 难度：中等

如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是    ．

4. 难度：中等

某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温（°C）	18	13	10	-1
用电量（度）	24	34	38	64

由表中数据得线性回归方程中b=-2，预测当气温为-4°C时，用电量的度数约为    ．

5. 难度：中等

给出一个算法：
 Read    x
 If   x≤0，Then
      f（x）←4x
  Else
      f（x）←2^x
  End，If
  Print，f（x）
根据以上算法，可求得f（-1）+f（2）=    ．

6. 难度：中等

如图，点P是单位圆上的一个顶点，它从初始位置P开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（）到达点P₁，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点P₂，若点P₂的横坐标为，则cosα的值等于    ．

7. 难度：中等

一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为    ．

8. 难度：中等

已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则=    ．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R），若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围为    ．

10. 难度：中等

已知圆（x-3）²+y²=4和过原点的直线y=kx的交点为P、Q，则|OP|•|OQ|的值为    ．

11. 难度：中等

已知实数a使得只有一个实数x满足关于x的不等式|x²+2ax+3a|≤2，则满足条件的所有的实数a的个数是    ．

12. 难度：中等

已知直线（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．则椭圆C的标准方程为    ．

13. 难度：中等

设A=（a₁，a₂，a₃），B=，记AϖB=max{a₁b₁，a₂b₂，a₃b₃}，（注：max{a₁，a₂，…a_n}表示a₁，a₂，…a_n中最大的数），若A=（x-1，x+1，x），，且AϖB=x-1，则x的取值范围为    ．

14. 难度：中等

若关于x的不等式x²＜2-|x-a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，，a=3，△ABC的面积为6，D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d．
（1）求角A的正弦值；
（2）求边b、c；
（3）求d的取值范围．

16. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（3）求证CE∥平面PAB．

17. 难度：中等

某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m，∠BCD=60°，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD的长，可使建造这个支架的成本最低？

18. 难度：中等

如图，已知圆C₁的方程为，椭圆C₂的方程为（a＞b＞0），C₂的离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，求直线AB的方程和椭圆C₂的方程．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²，，g（x）=x-1．
（1）已知函数ψ（x）=log_m^x-2x，如果是增函数，且h（x）的导函数h'（x）存在正零点，求m的值．
（2）设F（x）=f（x）-tg（x）+1-t-t²，且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数t的取值范围．
（3）试求实数p的个数，使得对于每个p，关于x的方程xf（x）=pg（x）+2p+1都有满足|x|＜2009的偶数根．

20. 难度：中等

已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时，，
（Ⅰ）当a=100，时，求数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀；
（Ⅱ）证明：对于数列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3；
（Ⅲ）令，当2＜a＜3时，求证：．

21. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于D．求证：BC²=2CD•AC．

22. 难度：中等

设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M^-1以及椭圆在M^-1的作用下的新曲线的方程．

23. 难度：中等

（坐标系与参数方程）求直线（t为参数）被曲线所截的弦长．

24. 难度：中等

若，证明．

25. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（I）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（II）求CC₁到平面A₁AB的距离；
（III）求二面角A-A₁B-C的大小．

26. 难度：中等

某城市有甲、乙、丙、丁4个旅游景点，一位客人游览这4个景点的概率都是0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响．设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
（Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ） 记“函数f（x）=x²-3ξx+1在区间[4，+∞）上单调递增”为事件A，求事件A的概率．