2009-2010学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．
B．-
C．i
D．-i

2. 难度：中等

定义A-B={x|x∈A，且x∉B}．若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，4}则M-N=（ ）
A．M
B．N
C．{6}
D．{1，5}

3. 难度：中等

函数y=f（x）的反函数为y=log₂x，则f（-1）的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．4

4. 难度：中等

从2010名学生中选取50名学生参加英语比赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2010人中，每人入选的概率（ ）
A．不全相等
B．均不相等
C．都相等，且为
D．都相等，且为

5. 难度：中等

已知m，l是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若l⊥α，m∥α，则l⊥m；②若m∥l，m⊂α，则l∥α；③若α⊥β，m⊂α，l⊂β，则m⊥l；④若m⊥l，m⊂α，l⊂β，则α⊥β其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

由曲线y=3-x²和直线y=2x所围成的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知P：|x|＞a是q：x²-x-2＞0的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＞1
B．a≥1
C．a＞2
D．a≥2

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x|x|-2ax+1（x，a∈R）有下列四个结论：
（1）当a=0时，f（x）的图象关于原点对称
（2）f（|x|）有最小值1-a²
（3）若y=f（x）的图象与直线y=2有两个不同交点，则a=1
（4）若f（x）在R上是增函数，则a≤0
其中正确的结论为（ ）
A．（1）（2）
B．（2）（3）
C．（3）
D．（3）（4）

二、填空题

9. 难度：中等

在等比数列{a_n} 中，a₁=1，a₄=8，则这个数列中a₃=    ．

10. 难度：中等

若sinα+cosα=，则sin2α的值是    ．

11. 难度：中等

对于命题：如果O是线段AB上一点，则；将它类比到平面 的情形是：若O是△ABC内一点，有；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有    ．

12. 难度：中等

若ξ～B（6，），则P（ξ=0）    ；当k=    时，P（ξ=k）（k∈N₊，0≤k≤6）最大．

13. 难度：中等

如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有    种（用数字作答）．

14. 难度：中等

极坐标系下，直线ρcos（θ-）=与圆ρ=2的公共点个数是    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图所示，等腰三角形ABC的底边AC长为8，其外接圆的半径长为5，则三角形ABC的面积是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c．已知=（sinA，cosA），=（cosC，sinC），且．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=3，求a+c的最大值．

17. 难度：中等

设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．
（1）求b≤2且c≥3的概率；
（2）求函数f（x）=x²+2bx+c图象与x轴无交点的概率；
（3）用随机变量ξ表示函数f（x）=x²+2bx+c图象与x轴交点的个数，求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，E为侧棱PD的中点．
（1）指出几何体的主要特征（高及底的形状）；
（2）求证：PB∥平面AEC；
（3）若F为侧棱PA上的一点，且，则λ为何值时，PA⊥平面BDF？并求此时直线EC与平面BDF所成角的正弦值．

19. 难度：中等

已知函数（a，b∈R）
（1）若y=f（x）图象上的点处的切线斜率为-4，求y=f（x）的极大值；
（2）若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n} 的各项全为正数，观察流程图，当k=2时，S=；当k=5 时，S=．
（1）写出k=4时，S的表达式；（用a₁，a₂，a₃，a₄，∧等表示）
（2）求{a_n} 的通项公式；
（3）令b_n=2ⁿa_n，求b₁+b₂+…+b_n．

21. 难度：中等

已知m，n为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4ⁿ+5n⁺…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整数n．