2008-2009学年湖南省岳阳一中高二（上）期末数学试卷（藏班）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可以是（ ）
A．1或2或3或4
B．0或2或4
C．1或3
D．0或4

2. 难度：中等

方程2x²+ky²=1表示的曲线是长轴在y轴的椭圆，则实数k的范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．（2，+∞）
C．（0，2）
D．（2，0）

3. 难度：中等

双曲线-=1的焦点到渐近线的距离是（ ）
A．2
B．3
C．
D．6

4. 难度：中等

若向量垂直于向量和，=λ+μ，（λ、μ∈R，且λμ≠0），则（ ）
A．∥
B．⊥
C．不平行于，也不垂直于
D．以上三种情况均有可能

5. 难度：中等

直线y=（x-）与双曲线-y²=1的交点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

6. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若=，=，=，则=（ ）
A．+-
B．-+
C．-++
D．-+-

7. 难度：中等

命题p：{2}∈{1，2，3，}，q：{2}⊆{1，2，3}则在下述判断：①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中正确的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

8. 难度：中等

已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，-3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

9. 难度：中等

命题p：∃m∈R，方程x²+mx+1=0有实根，则￢p是（ ）
A．∃m∈R，方程x²+mx+1=0无实根
B．∀m∈R，方程x²+mx+1=0无实根
C．不存在实数m，使方程x²+mx+1=0无实根
D．至多有一个实数m，使方程x²+mx+1=0有实根

10. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

二、填空题

11. 难度：中等

双曲线3x²-y²=3的渐近线方程是    ．

12. 难度：中等

设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么A是B的    条件．

13. 难度：中等

抛物线y²=8x上一点P到焦点的距离为6，则P点的横坐标为    ．

14. 难度：中等

“末位数字是0或5的整数能被5整除”的
否定形式是   
否命题是    ．

15. 难度：中等

设||=1，||=2，2+与-3垂直，=4，=7+2，则＜，＞=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直．

17. 难度：中等

设P：-1＜a＜1；q：方程x²+（a-2）x+2a-8=0的一个根大于0，一个根小于0；试判断P是q成立的什么条件．写出分析过程．（用“充要；充分不必要；必要不充分；既不充分也不必要；”之一作答）

18. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出A、B₁、E、D₁的坐标；
（2）求AB₁与D₁E所成的角的余弦值．

19. 难度：中等

求焦点在坐标轴上，且经过点A（，-2）和B（-2，）两点的双曲线的标准方程．

20. 难度：中等

已知椭圆C的焦点分别为F₁（-2，0）和F₂（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．

21. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
（Ⅰ）求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A₁到平面AED的距离．