2009-2010学年重庆市西南师大附中高三（上）1月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设f：x→|x|是集合A到集合B的映射．若A={-3，0，3}，则A∩B=（ ）
A．{0，3}
B．{0}
C．{3}
D．{-3，0}

2. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足：a₃+a₅+a₁₁+a₁₃=80，则a₈=（ ）
A．18
B．20
C．22
D．24

3. 难度：中等

“a=3”是“直线ax-2y-1=0与直线6x-4y+c=0平行”的（ ）条件．
A．充要
B．充分而不必要
C．必要而不充分
D．既不充分也不必要

4. 难度：中等

tan15°-cot15°的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知双曲线离心率为，则它的两条渐近线的夹角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

6. 难度：中等

若函数f（x）=cos2x+1的图象按向量平移后，得到的图象关于原点对称，则向量可以是（ ）
A．（1，0）
B．
C．
D．

7. 难度：中等

关于x的函数y=（a²-ax+2a）在[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）
B．（-∞，0）
C．（-1，0）
D．（0，2]

8. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项为a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），我们把使乘积a₁•a₂•a₃…a_n为整数的n叫做“优数”，则在（1，2010]内的所有“优数”的和为（ ）
A．1024
B．2003
C．2026
D．2048

9. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，且|F₁F₂|=2c，点A在椭圆上，，，则椭圆的离心率e=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

定义函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.5]=1，[-1.3]=-2，当x∈[0，n）（n∈N^*）时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数为a_n，则式子的最小值为（ ）
A．10
B．13
C．14
D．16

二、填空题

11. 难度：中等

不等式的解集为    ．

12. 难度：中等

函数，则f（0）=    ．

13. 难度：中等

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若=    ．

14. 难度：中等

x、y满足约束条件：，则z=x+y-5的最小值是    ．

15. 难度：中等

已知集合M={x|1≤x≤8，x∈N}，对于它的非空子集A，将A中的每个元素k，都乘以（-1）^k再求和，（如A={1，3，6}，可求和得到（-1）¹•1+（-1）³•3+（-1）⁶•6=2），则对M的所有非空子集，这些和的总和是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数+cos2x+a（a∈R，a为常数）．
（I）求函数的最小正周期；
（II）求函数的单调递减区间；
（III）若时，f（x）的最小值为-2，求a的值．

17. 难度：中等

已知在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足．
（Ⅰ） 求S_n的表达式；
（Ⅱ） 设，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（1）证明：不论m取什么实数时，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．

19. 难度：中等

已知
（1）若p＞1时，解关于x的不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）＞2对2≤x≤4时恒成立，求p的范围．

20. 难度：中等

已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|sin²θ=2．
（1）求动点P的轨迹Q的方程；
（2）过点B的直线l与轨迹Q交于两点M，N．试问在x轴上是否存在定点C，使得为常数．若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

数列{a_n}中a₁=2，，{b_n}中．
（1）求证：数列{b_n}为等比数列，并求出其通项公式；
（2）当n≥3（n∈N^*）时，证明：．