2009-2010学年浙江省杭州高级中学高三第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合M={3，4^a}，N={a，b}，若M∩N={1}，则M∪N=（ ）
A．{0，1，2}
B．{0，1，3}
C．{0，2，3}
D．{1，2，3}

2. 难度：中等

i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（ ）
A．-15
B．-3
C．3
D．15

3. 难度：中等

设集合A={x|＜0}，B={x||x-1|＜a}，若“a=1”是“A∩B≠∅”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

4. 难度：中等

已知函数的值域为R，则m的取值范围是（ ）
A．（-4，+∞）
B．[-4，+∞）
C．（-∞，4）
D．（-∞，-4]

5. 难度：中等

给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

C_n^r（n＞r≥1，n，r∈Z）恒等于（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则a的取值范围是（ ）
A．
B．0＜a≤1
C．
D．0＜a≤1或

8. 难度：中等

已知点（m，n）在曲线上，则m²+（n-1）²的取值范围是（ ）
A．[1，2]
B．[1，3]
C．[1，4]
D．[1，9]

9. 难度：中等

已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积（单位：cm³）是（ ）

A．4
B．5
C．6
D．7

10. 难度：中等

已知△ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G，，，其中λ，μ＞0，，S_△ABC=1，则S_△GMN的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．（）
C．（）
D．（0，）

二、填空题

11. 难度：中等

某工厂对一批产品进行了抽样检测．右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是
36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是    ．

12. 难度：中等

若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是    ．

13. 难度：中等

若，则a_n=    ．

14. 难度：中等

已知双曲线C：的右焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若FH的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为    ．

15. 难度：中等

现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为    ．

16. 难度：中等

从集合{A，B，C，D，E}与{1，3，5，7，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），每排中字母A和数字9至多只出现一个的不同排法种数是    ．（用数字作答）．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=．对于下列命题：
①函数f（x）是周期函数；  ②函数f（x）既有最大值又有最小值； 
③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴；
④对于任意x∈（-1，0），f′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）．
其中真命题的序号是    ．（填写出所有真命题的序号）

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且4cosC．
（1）若tanA=2tanB，求sin（A-B）的值；
（2）若3ab=25-c²，求△ABC面积的最大值．

19. 难度：中等

一袋中装有分别标记着1，2，3，4数字的4只小球，每次从袋中取出一只球，设每只小球被取到的可能性相同．
（1）若每次取出的球不放回袋中，求恰好第三次取到标号为3的球的概率；
（2）若每次取出的球放回袋中，然后再取出一只球，现连续取三次球，若三次取出的球中标号最大的数字为ξ，求ξ的概率分布列与期望．

20. 难度：中等

如图，五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四边形BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁为直二面角．
（Ⅰ）D在AC上运动，当D在何处时，有AB₁∥平面BDC₁，并且说明理由；
（Ⅱ）当AB₁∥平面BDC₁时，求二面角C-BC₁-D余弦值．

21. 难度：中等

过点F（0，1）作直线l与抛物线x²=4y相交于两点A、B，圆C：x²+（y+1）²=1
（1）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切，求直线l的方程；
（2）过点A、B分别作圆C的切线BD、AE，试求|AB|²-|AE|²-|BD|²的取值范围．

22. 难度：中等

如果f（x）是函数f（x）的一个极值，称点（x，f（x））是函数f（x）的一个极值点．已知函数f（x）=（ax-b）（x≠0且a≠0）
（1）若函数f（x）总存在有两个极值点A，B，求a，b所满足的关系；
（2）若函数f（x）有两个极值点A，B，且存在a∈R，求A，B在不等式|x|＜1表示的区域内时实数b的范围．
（3）若函数f（x）恰有一个驻点A，且存在a∈R，使A在不等式表示的区域内，证明：0≤b＜1．