2005年浙江省温州市第三届摇篮杯高一数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

数列2004，2005，1，-2004，…；从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则该数列的前2005项之和等于（ ）
A．2004
B．2005
C．1
D．0

2. 难度：中等

函数在（-2，+∞）上为增函数，则a的取值范围是（ ）
A．
B．a＜-1或
C．
D．a＞-2

3. 难度：中等

函数的图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

函数y=x+sinx的图象按向量平移后所得图象对应的函数为（ ）
A．y=x-sin
B．y=x-cos
C．y=x+cos
D．y=x+cosx-π

5. 难度：中等

已知不等式m²+（cos²θ-5）m+4sin²θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤4
B．1≤m≤4
C．m≥4或m≤0
D．m≥1或m≤0

6. 难度：中等

已知，记，其中x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，则 （ ）
A．p＜q
B．p＞q
C．p=q
D．不能确定

7. 难度：中等

设a是正整数，a＜100，而且a³+23能被24整除，那么这样的a个数为（ ）
A．4
B．5
C．9
D．10

8. 难度：中等

甲、乙、丙三人中两人进行乒乓球单打比赛，一人当裁判，输方当下一局的裁判．比赛结束后发现甲打了12局，乙打了21局，而丙当裁判8局．那么比赛的第12局输方…（ ）
A．必是甲
B．必是乙
C．必是丙
D．三人都有可能

二、填空题

9. 难度：中等

数列{a_n}中，，则a₅=    ．

10. 难度：中等

对于任意的x∈R，函数f（x）=sin（ωx+φ），（ω＞0）满足条件f（a+x）=f（a-x），则=    ．

11. 难度：中等

2004年12月26日，印尼发生强烈地震，继而引发海啸．印尼地震监测机构最初公布的报告称，这次地震的震级为里氏6.8级，但美国地质勘探局测定的地震震级为里氏8.9级．已知里氏震级R与地震释放的能量E的关系为．那么里氏8.9级的地震释放的能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的    倍．（已知10^0.15=1.413）

12. 难度：中等

方程（x²-6x+c₁）（x²-6x+c₂）（x²-6x+c₃）=0的自然数解集为{x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆}，那么c₁-c₂的最大值为    ．

13. 难度：中等

把3¹¹表示成k项连续正整数的和，则项数k的最大值为    ．

14. 难度：中等

定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式的解集为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|-|=．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα的值．

16. 难度：中等

已知函数（a＞0）
（1）证明：f（x）既不是奇函数又不是偶函数．
（2）求f（x）的值域．
（3）若对于f（x）定义域内的任意实数x₁，都能构造出一个无穷数列{x_n}，
使其满足条件x_n+1=f（x_n）（n∈N^*），求a的取值范围．

17. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1+a_n=4n-56（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）是否存在a，使得数列{a_n}的前n项和为S_n与|a_n+1+a_n-a|同时取到最小值，若存在，求a的取值范围．若不存在，说明理由．
（3）若a=-27，数列{b_n}满足条件b₁=b₁₅，且，求b₁₀₀的整数部分．