2004-2005学年广东省深圳市实验学校高二（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对于不同点A、B，不同直线a、b、l，不同平面α，β，下面推理错误的是（ ）
A．若A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，则a⊂β
B．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β=直线AB
C．若l⊄α，A∈l，则A∉α
D．a∩b=Φ，a不平行于b，则a、b为异面直线

2. 难度：中等

已知EF是异面直线a，b的公垂线，直线l∥EF，则l与a，b交点的个数是（ ）
A．0
B．1
C．0或1
D．0或1或2

3. 难度：中等

若直线m⊂平面α，则条件甲：直线l∥α是条件乙：l∥m的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中E是CC₁的中点，过点E作一直线与直线A₁D₁和直线AB都相交，这样的直线（ ）
A．不存在
B．仅有一条
C．有两条
D．有三条

5. 难度：中等

P是抛物线y=2x²上一点，且P到抛物线焦点的距离为1，则点P的横坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知圆的方程为x²+y²=1，把圆上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到一椭圆，则以该椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

设，，是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题：
（1），
（2），
（3）不与垂直，
（4）．
其中正确的命题有（ ）
A．（1）（2）
B．（2）（3）
C．（3）（4）
D．（2）（4）

9. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC₁、AD的中点，那么异面直线OE和FD₁所成的角的余弦值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

将锐角∠QMN=60°，边长MN=a的菱形MNPQ沿对角线NQ折成60°的二面角，则MP与NQ间的距离等于（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中二面角A₁-BC₁-D₁的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如图，∠C=90°，AC=BC，M，N分别为BC和AB的中点，沿直线MN将△BMN折起，使二面角B′-MN-B为60°，则斜线B'A与平面ABC所成角的正切值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，且AB=48，CD=25，又CD在平面β内的射影长为7，则AB和平面β所成角的度数是    ．

14. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，AB=1，AC=2，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则B，D间的距离为    ．

15. 难度：中等

△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：    ．

16. 难度：中等

已知点M（-3，0），N（3，0），B（1，0），圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，α∩β=MN，A∈α，C∈MN，且∠ACM=45°，α-MN-β为60°，AC=1，求A点到β的距离．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：BC⊥侧面PAB；
（Ⅱ）证明：侧面PAD⊥侧面PAB；
（Ⅲ）求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小．

19. 难度：中等

如图，在正方体OABC-O₁A₁B₁C₁中，P，Q分别是棱AB，B₁C₁上的动点，且AP=B₁Q，M、N、R分别为AB₁，PQ，BC₁的中点．
（Ⅰ）当时，求异面直线PM，A₁C₁所成的角；
（Ⅱ）求证：点N恒在线段MR上．

20. 难度：中等

如图，空间直角坐标系O-xyz中，已知A（1，0，0），B（0，2，0），现将△AOB按向量平移到△A'O'B'．
（Ⅰ）写出三点A'、O'、B'的坐标；
（Ⅱ）求证：AB'⊥BO'；
（Ⅲ）求二面角A-BB'-O的大小．

21. 难度：中等

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥面ABCD，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：A₁C₁⊥AB；
（Ⅱ）求点B₁到平面ABC₁的距离．

22. 难度：中等

过点（1，0）的直线与中心在原点，焦点在x轴上且率心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB中点，同时椭圆C上存在一眯与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程．