2007-2008学年浙江省杭州师大附中高三第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={3，a²}，B={2，4}，则“a=2”是“A∩B={4}”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知角α的终边过P（-6a，-8a）（a≠0），则sina-cosa的值为（ ）
A．
B．-
C．-或-
D．-或

3. 难度：中等

随机变量ξ～N（0，1），记φ（x）=p（ξ＜x），则下列式子（a＞0）中错误的是（ ）
A．φ（0）=0.5
B．φ（a）+φ（-a）=1
C．p（ξ＜a）=2φ（a）-1
D．p（|ξ|＞a）=1-φ（a）

4. 难度：中等

设、、，则它们的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．b＜a＜c

5. 难度：中等

已知定义在R上函数f（x）是偶函数，对x∈R都有f（2+x）=-f（2-x），当f（-3）=-2 时，f （2007）的值为（ ）
A．2
B．-2
C．4
D．-4

6. 难度：中等

200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为（ ）
A．65辆
B．76辆
C．88辆
D．95辆

7. 难度：中等

已知函数f（x）=2ln3x+8x，则的值为（ ）
A．10
B．-10
C．-20
D．20

8. 难度：中等

在1，2，3，4，5的全排列a₁a₂a₃a₄a₅中，满足a₁＜a₂，a₂＞a₃，a₃＜a₄，a₄＞a₅的排列个数是（ ）
A．10
B．12
C．14
D．16

9. 难度：中等

已知数列{a_n}是各项均为正整数的等比数列，数列{b_n}是等差数列，且a₆=b₇，则有（ ）
A．a₃+a₉≤b₁+b₁₀
B．a₃+a₉≥b₄+b₁₀
C．a₃+a₉≠b₄+b₁₀
D．a₃+a₄与b₁+b₁₀的大小关系不确定

10. 难度：中等

设F（x）=f（x）+f（-x），x∈R，[-π，-]是函数F（x）的单调递增区间，将F（x）的图象按向量=（π，0）平移得到一个新的函数G（x）的图象，则G（x）的一个单调递减区间是（ ）
A．[，2π]
B．[π，]
C．[，π]
D．[-，0]

二、填空题

11. 难度：中等

若复数z满足对应关系f（1-z）=2z-i，则（1+i）•f（1-i）=    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=1-3（x-1）+3（x-1）²-（x-1）³，则f^-1（8）=    ．

13. 难度：中等

已知向量，    ．

14. 难度：中等

设则不等式f（x）＞2的解集为    ．

15. 难度：中等

△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ABC形状一定是    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式，设前n项和为S_n，则使S_n＜-5成立的自然数n的最小值是    ．

17. 难度：中等

若函数f（x）的导函数是f′（x）=-x（x+1），则函数g（x）=f（logax）（0＜a＜1）的单调递减区间是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知=（5cosx，cosx），=（sinx，2cosx）其中x∈[，]，设函数f（x）=•+||²+
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若f（x）=8，求函数f（x-）的值．

19. 难度：中等

已知等比数列{a_n}，S_n是其前n项的和，且a₁+a₃=5，S₄=15．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设，求数列{b_n}的前n项和T_n
（III）比较（II）中T_n与（n=1，2，3…）的大小，并说明理由．

20. 难度：中等

计算机考试分理论考试与上机操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为，，；在上机操作考试中合格的概率分别为，，．所有考试是否合格相互之间没有影响．
（1）甲、乙、丙三人在同一次计算机考试中谁获得“合格证书”可能性最大？
（2）求这三人计算机考试都获得“合格证书”的概率；
（3）用ξ表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（a-ka^x）（a＞0，且a≠1，k∈R）．
（1）若f（x）的图象关于直线y=x对称，且f（2）=-2log_a2，求a的值．
（2）当0＜a＜1时，若f（x）在[1，+∞）内恒有意义，求k的取值范围．

22. 难度：中等

设x₁，x₂是函数f（x）=x³+x²-a²x（a＞0）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=1．
（1）证明：0＜a≤；
（2）证明：|b|≤；
（3）设g（x）=f′（x）-a（x-x₁），x₁＜x＜1，x₁＜0，求证：|g（x）|≤a．