2008-2009学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0，则a，b满足（ ）
A．a+b=1
B．a-b=1
C．a+b=0
D．a-b=0

2. 难度：中等

若直线l₁：ax+2y+6=0与直线l ₂：x+（a-1）y+a ²-1=0平行但不重合，则a等于（ ）
A．2
B．2或-1
C．-1
D．1

3. 难度：中等

若k∈R，则“k＞3”是“方程-=1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

曲线y²=4x关于直线x=2对称的曲线方程是（ ）
A．y²=8-4
B．y²=4x-8
C．y²=16-4
D．y²=4x-16

5. 难度：中等

设椭圆=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，右焦点F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两个根分别为x₁，x₂，则点P（x₁，x₂）在（ ）
A．圆x²+y²=2内
B．圆x²+y²=2上
C．圆x²+y²=2外
D．以上三种情况都有可能

6. 难度：中等

方程y=a|x|和y=x+a（a＞0）所确定的曲线有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1
B．0＜a＜1
C．∅
D．0＜a＜1或a＞1

7. 难度：中等

能够使得圆x²+y²-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．

8. 难度：中等

在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（ ）

A．[6，15]
B．[7，15]
C．[6，8]
D．[7，8]

9. 难度：中等

已知椭圆的焦点是F₁、F₂，P是椭圆上的一个动点，如果延长F₁P到Q，使得|PQ|=|PF₂|，那么动点Q的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线

10. 难度：中等

已知ab≠0，点M（a，b）是圆x²+y²=r²内一点，直线m是以点M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by=r²，则下列结论正确的是（ ）
A．m∥l，且l与圆相交
B．l⊥m，且l与圆相切
C．m∥l，且l与圆相离
D．l⊥m，且l与圆相离

二、填空题

11. 难度：中等

点P（2，4）在直线ax+y+b=0上的射影是点Q（4，3），则a=    ，b=    ．

12. 难度：中等

从点P（2，3）向圆（x-1）²+（y-1）²=1引切线，则切线方程为    ．

13. 难度：中等

与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是    ．

14. 难度：中等

椭圆的短轴长为    ．

15. 难度：中等

如下图，椭圆中心为O，F是焦点，A为顶点，准线l交OA延长线于B，P，Q在椭圆上且PD⊥l于D，QF⊥OA于F，则以下比值①②③④⑤能作为椭圆的离心率的是    （填写所有正确的序号）

三、解答题

16. 难度：中等

求经过点M（-2，1）且与A（-1，2），B（3，0）距离相等的直线方程．

17. 难度：中等

求经过点A（-2，-4），且与直线l：x+3y-26=0相切于（8，6）的圆的方程．

18. 难度：中等

一位农民有田2亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400kg；若种花生，则每亩每期产量为100kg，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只需80元，且花生每千克可卖5元，水稻每千克只卖3元．现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？

19. 难度：中等

设双曲线方程的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为．
（1）求双曲线的离心率；
（2）经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线m被双曲线截得的弦长为15，求双曲线的方程．

20. 难度：中等

已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求证：若曲线C与直线l相切，则有（a-2）（b-2）=2；
（2）求线段AB中点的轨迹方程；
（3）求△AOB面积的最小值．

21. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，，点A，B关于y轴对称．一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知点，求∠SPT的最小值；
（3）若点是曲线E上的一点，设M，N是曲线E上不同的两点，直线FM和FN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．