2010-2011学年河北省邯郸市武安三中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若f（x）=sinα-cosx，则f′（α）等于（ ）
A．cosα
B．sinα
C．sinα+cosα
D．2sinα

2. 难度：中等

若复数，则它的共轭复数的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

下面使用类比推理恰当的是（ ）
A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”
B．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“c=ac•bc”
C．“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”
D．“（ab）ⁿ=aⁿbⁿ”类推出“（a+b）ⁿ=aⁿ+bⁿ”

4. 难度：中等

设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ）
A．2
B．
C．
D．-2

5. 难度：中等

对    大前提，小前提所以，结论以上推理过程中的错误为（ ）
A．小前提
B．大前提
C．结论
D．无错误

6. 难度：中等

在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•3•…•（2n-1）（n∈N^*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（ ）
A．2k+1
B．2（2k+1）
C．
D．

7. 难度：中等

点P是曲线y=2x²-3lnx上任意一点，则点P到直线y=x-3的距离的最小值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．

8. 难度：中等

若函数f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（ ）
A．0＜b＜1
B．b＜1
C．b＞0
D．b＜

9. 难度：中等

图中，阴影部分的面积是（ ）

A．16
B．18
C．20
D．22

10. 难度：中等

函数（ ）
A．在（-∞，e）上单调递增
B．在（-∞，0）和（0，e）上单调递增
C．在（e，+∞）上单调递增
D．在（0，e）上单调递增

11. 难度：中等

如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{a_n}（n∈N^*）的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去，则a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁等于（ ）

A．1003
B．1005
C．1006
D．2011

二、填空题

12. 难度：中等

已知平行四边形OABC的顶点A、B分别对应复数1-3i，4+2i．O为复平面的原点，那么顶点C对应的复数是    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+c（a≠0），若，0≤x≤1，则x的值为    ．

14. 难度：中等

观察式子：1+，1+，1+，…，则可归纳出式子为    ．

15. 难度：中等

图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是     ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，判断a³+b³与a²b+ab²的大小，并证明你的结论．

17. 难度：中等

已知f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在（-4，5）上的单调区间．

18. 难度：中等

如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥底面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点，
求证：（1）DE=DA；
（2）面BDM⊥面ECA．

19. 难度：中等

如图，已知抛物线y=4-x²与直线y=3x的两个交点分别为A、B，点P在抛物线上从A向B运动（点P不同于点A、B），
（Ⅰ）求由抛物线y=4-x²与直线y=3x所围成的图形面积；
（Ⅱ）求使△PAB的面积为最大时P点的坐标．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=2，且a_na_n+1+a_n+1-2a_n=0（n∈N₊）．
（1）求a₂、a₃、a₄的值；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

21. 难度：中等

把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（1）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（2）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．