2010-2011学年山东省淄博一中高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A{x|x＜-1或x＞1}，B={log₂x＞0}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|x＞0}
C．{x|x＜-1}
D．{x|x＜-1或x＞1}

2. 难度：中等

记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法有（ ）
A．72种
B．144种
C．240种
D．480种

3. 难度：中等

i是虚数单位，即i²=-1则1+C₆¹i+C₆²i²+C₆³i³+C₆⁴i⁴+C₆⁵i⁵+C₆⁶i⁶=（ ）
A．8i
B．-8i
C．8
D．-16+16i

4. 难度：中等

已知在△ABC中，向量与满足（+）•=0，且•=，则△ABC为（ ）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形

5. 难度：中等

某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是（ ）
A．15，16，19
B．15，17，18
C．14，17，19
D．15，16，20

6. 难度：中等

曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

给出函数f（x）=则f（log₂3）等于（ ）
A．-
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图为一个几何体的三视图，左视图和主视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为（ ）

A．
B．12
C．24
D．

9. 难度：中等

已知三条直线a，b，c和平面β，则下列推论中正确的是（ ）
A．若a∥b，b⊂β，则a∥β
B．若a，b与β所成角相等，则a∥b
C．若a⊂β，b∥β，a，b共面，则a∥b
D．若a⊥c，b⊥c，则a∥b

10. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（2x+φ），若f（α）=2，则的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．与ϕ和α有关

11. 难度：中等

已知双曲线的x²-y²=a²左右顶点分别为A，B，双曲线在第一象限的图象上有一点P，∠PAB=α，∠PBA=β，∠APB=γ，则（ ）
A．tanαtanβ+1=0
B．tanαtanγ+1=0
C．tanβtanγ+1=0
D．tanαtanβ-1=0

12. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₃=8，a₇=20，若数列{}的前n项和为，则n的值为（ ）
A．14
B．15
C．16
D．18

二、填空题

13. 难度：中等

抛物线y=4x²上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是    ．

14. 难度：中等

不等式2|x|+|x-1|＜2的解集是    ．

15. 难度：中等

在如图所示的算法流程图中，输出S的值为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）满足，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知，，若=，且，求sin2x的值．

18. 难度：中等

如图，圆O₁与圆O₂的半径都是1，O₁O₂=4，过动点P分别作圆O₁．圆O₂的切线PM、PN（M．N分别为切点），使得PM=PN．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．

19. 难度：中等

四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，又PA=PD，∠APD=60°，E、G分别是BC、PE的中点．
（1）求证：AD⊥PE；
（2）求二面角E-AD-G的正切值．

20. 难度：中等

已知各项均为正数的数列a_n满足（n∈N*），且a₁+a₂+a₃=a₄-2．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）证明：7•4ⁿ⁺¹＞3n+1（n∈N*）
（Ⅲ）若n∈N*，令b_n=a_n²，设数列b_n的前n项和为T_n（n∈N*），试比较与的大小．

21. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+3同时满足以下条件：①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；②f′（x）是偶函数；
③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆的两个焦点，过F₁且与坐标轴不平行的直线l₁与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF₂的周长等于8．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．