2010-2011学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₇+a₉=16，a₄=1，则a₁₂的值是（ ）
A．15
B．30
C．31
D．64

2. 难度：中等

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，若a₃a₈=9，则log₃a₁+log₃a₁₀=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．log₃5

3. 难度：中等

若tan（α+β）=3，tan（α-β）=5，则tan2α=（ ）
A．
B．-
C．
D．-

4. 难度：中等

设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．
B．
C．|a|＞-b
D．

5. 难度：中等

设f（x）=3ax-2a+1，若存在x∈（-1，1），使f（x）=0，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．a＜-1
C．
D．

6. 难度：中等

已知α，β，γ成公比为2的等比数列，α∈[0，2π），且sinα，sinβ，sinγ也成等比数列，则α的值为（ ）
A．或0
B．
C．或
D．或或0

7. 难度：中等

在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．不等边三角形
D．直角三角形

8. 难度：中等

在△ABC中，A=60°，b=1，△ABC面积为，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

数列{a_n}中，a₃=2，a₅=1，如果数列是等差数列，则a₁₁=（ ）
A．
B．0
C．
D．

10. 难度：中等

给出下列命题：①若a，b∈R⁺，a≠b，则a³+b³＞a²b+ab²；②若a，b∈R⁺，a＜b，则；③若，则ln a＞ln b；
④；其中正确命题的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

11. 难度：中等

关于x的不等式解集为{x|-1≤x＜2，或x≥3}，则点P（a+b，c）位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

12. 难度：中等

数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=4a_n-3，则a₁₀等于（ ）
A．2¹⁸-1
B．2¹⁸+1
C．2²⁰+1
D．2²⁰-1

二、填空题

13. 难度：中等

已知，则x（1-3x）的最大值是    ．

14. 难度：中等

在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为    米．

15. 难度：中等

将给定的25个数排成如右图所示的数表，若每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a₃₃=1，则表中所有数之和为    

16. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N⁺），定义使a₁•a₂•a₃…a_k为整数的数k（k∈N⁺）叫做幸运数，则k∈[1，2011]内所有的幸运数的和为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=2bsinA．
（1）求∠B的大小；
（2）若，求边b的长．

18. 难度：中等

不查表求值：．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_nxⁿ（x∈R），求数列{b_n}前n项和的公式．

20. 难度：中等

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
（1）设AD=x（x≥0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且（a-1）S_n=a（a_n-1）（a＞0）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等比数列，并求a_n；
（Ⅱ）已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x}，问是否存在实数a，使得对于任意的n∈N^*
都有S_n∈A？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为．
（1）求点M的纵坐标；
（2）若，其中n∈N^*且n≥2，
①求S_n；
②已知，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n≤λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求λ的最小正整数值．