2010-2011学年浙江省杭州市萧山区三校联考高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已点P（2，m）在直线3x+y=2上，那么m的值是（ ）
A．4
B．-4
C．-8
D．8

2. 难度：中等

设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

3. 难度：中等

若向量a=（2，-3，1），b=（2，0，3），c=（0，2，2），则a•（b+c）=（ ）
A．4
B．15
C．7
D．3

4. 难度：中等

长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A．25π
B．50π
C．125π
D．都不对

5. 难度：中等

在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC₁的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

6. 难度：中等

已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC的面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若直线l₁：（m+3）x+4y+3m-5=0与l₂：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为（ ）
A．-7
B．-1或-7
C．-6
D．

8. 难度：中等

一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．2π+2
B．4π+2
C．2π+
D．4π+

9. 难度：中等

三棱锥P-ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的（ ）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心

10. 难度：中等

已知=（1，2，3），=（2，1，2），=（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

直线过点（2，-3），它的倾斜角的正弦是，则直线的点斜式方程为    ．

12. 难度：中等

两条平行直线3x-4y-3=0与6x-8y+9=0之间的距离为    ．

13. 难度：中等

过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程是    ．

14. 难度：中等

已知A、B、C三点不共线，M、A、B、C四点共面，则对平面ABC外的任一点O，有，则t=    ．

15. 难度：中等

如图，平行六面体ANCD-EFGH中，棱AB，AD，AE的长分别为3，4，5，∠EAD=∠EAB=∠DAB=120°，则AG的长为    ．

16. 难度：中等

已知△ABC的顶点为A（1，1，1），B（0，-1，3），C（3，2，3），则△ABC的面积是    ．

17. 难度：中等

如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA₁=8．若AA₁B₁B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A₁C₁，B₁C₁的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点A（-3，0）、B（2，1）、C（-2，3），写出下列直线的一般式方程．
（1）BC边上中线AD；
（2）BC边的垂直平分线DE．

19. 难度：中等

如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．

20. 难度：中等

设是空间两个单位向量，且与互相垂直，求实数k的值．

21. 难度：中等

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为棱AB的中点．
求：
（1）D₁E与平面BC₁D所成角的正弦值；
（2）二面角D-BC₁-C的余弦值．

22. 难度：中等

下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面．

（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；
（2）若SA⊥面ABCD，求证：平面SAC⊥平面SBD，并求点A到平面SBD的距离．