2006-2007学年北京市人大附中高一（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知U为全集，集合P⊊Q，则下列各式中不成立的是（ ）
A．P∩Q=P
B．P∪Q=Q
C．P∩（∁_UQ）=∅
D．Q∩（∁_UP）=∅

2. 难度：中等

函数f（x）=lg（3x-1）的定义域为（ ）
A．R
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如果二次函数y=ax²+bx+1的图象的对称轴是x=1，并且通过点A（-1，7），则（ ）
A．a=2，b=4
B．a=2，b=-4
C．a=-2，b=4
D．a=-2，b=-4

4. 难度：中等

函数y=2^|x|的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如果=b（a＞0且a≠1），则（ ）
A．2log_ab=1
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

x	1	2	3
f （x）	6.1	2.9	-3.5

那么函数f （x）一定存在零点的区间是（ ）
A．（-∞，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，+∞）

7. 难度：中等

下列说法中，正确的是（ ）
A．对任意x∈R，都有3^x＞2^x
B．y=（）^-x是R上的增函数；
C．若x∈R且x≠0，则log₂x²=2log₂
D．在同一坐标系中，y=2^x与y=log₂x的图象关于直线y=x对称

8. 难度：中等

如果函数y=x²+（1-a）x+2在区间（-∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A．a≥9
B．a≤-3
C．a≥5
D．a≤-7

二、填空题

9. 难度：中等

已知函数y=f（n），满足f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），n∈N₊，则 f（3）的值为    ．

10. 难度：中等

计算的值为    ．

11. 难度：中等

若奇函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，且f（-1）=0，则使得f（x）＞0的x取值范围是    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=log₃（x²-2x+10）的值域为    ．

13. 难度：中等

光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，则通过3块玻璃板后的强度变为    ．

14. 难度：中等

数学老师给出一个函数f（x），甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质
甲：在（-∞，0]上函数单调递减；
乙：在[0，+∞）上函数单调递增；
丙：在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称；
丁：f（0）不是函数的最小值．
老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确． 那么，你认为    说的是错误的．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（1）设f（x）的定义域为A，求集合A；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．

16. 难度：中等

有一个自来水厂，蓄水池有水450吨． 水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨． 现在开始向池中注水并同时向居民供水． 问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x-1（a＞0且a≠1）
（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；
（2）比较大小，并写出比较过程；
（3）若f（lga）=100，求a的值．

18. 难度：中等

集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有．
（1）试判断f（x）=x²及g（x）=log₂x是否在集合A中，并说明理由；
（2）设f（x）∈A且定义域为（0，+∞），值域为（0，1），，试求出一个满足以上条件的函数f （x）的解析式．