2009-2010学年浙江省杭州市学军中学高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

曲线y=x³-3x²+1在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A．y=3x-4
B．y=-3x+2
C．y=-4x+3
D．y=4x-5

3. 难度：中等

不等式|x-1|+|x-2|≥3的解集是（ ）
A．（-∞，1]∪[2，+∞）
B．[1，2]
C．（-∞，0]∪[3，+∞）
D．[0，3]

4. 难度：中等

椭圆5x²+ky²=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（ ）
A．-1
B．1
C．
D．-

5. 难度：中等

设a₁≤a₂≤…≤a_n，b₁≤b₂≤…≤b_n为两组实数，S₁=a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_nb₁，S₂=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，则下面正确的是（ ）
A．S₁＞S₂
B．S₁＜S₂
C．S₁≥S₂
D．S₁≤S₂

6. 难度：中等

二维形式的柯西不等式可用（ ）表示．
A．a²+b²≥2ab（a，b∈R）
B．（a²+b²）（c²+d²）≥（ab+cd）²（a，b，c，d∈R）
C．（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²（a，b，c，d∈R）
D．（a²+b²）（c²+d²）≤（ac+bd）²（a，b，c，d∈R）

7. 难度：中等

用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（ ）
A．2^k-1
B．2^k-1
C．2^k
D．2^k+1

8. 难度：中等

已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（ ）
A．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点
B．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点
C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点
D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点

9. 难度：中等

过双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FM=ME，则该双曲线的离心率为（ ）
A．3
B．2
C．
D．

10. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的偶函数且它图象是一条连续不断的曲线，当x＞0时，f'（x）＜0，若f（x）＞f（1），则x的取值范围是（ ）
A．（-1，1）
B．（0，1）∪（-1，0）
C．[-1，1]
D．（-∞，1）∪（1，+∞）

二、填空题

11. 难度：中等

若复数为实数，则实数a=    ．

12. 难度：中等

如图所示，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f（5）=    ，f′（5）=    ．

13. 难度：中等

设抛物线x²=12y的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，若点P恰为线段AB的中点，则|AF|+|BF|=    ．

14. 难度：中等

若直线y=a与函数f（x）=x³-3x的图象有三个不同的交点，则a∈    ．

15. 难度：中等

函数的最大值是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设a₁，a₂，a₃，a₄为正数，求证：．

17. 难度：中等

用数学归纳法证明等式：n∈N，n≥1，．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=，x∈[0，1]，
（1）求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）设a≥1，函数g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

19. 难度：中等

P、Q是抛物线C：y=x²上两动点，直线l₁，l₂分别是C在点P、点Q处的切线，l₁∩l₂=M，l₁⊥l₂．
（1）求证：点M的纵坐标为定值，且直线PQ经过一定点；
（2）求△PQM面积的最小值．