2009年浙江省杭州市高二教学质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若命题“p∨q”为真，“¬p”为真，则（ ）
A．p真q真
B．p假q假
C．p真q假
D．p假q真

2. 难度：中等

下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
B．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°
C．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
D．在数列{a_n}中，由此归纳出{a_n}的通项公式

3. 难度：中等

如图，程序运行后输出的结果为（ ） 


A．50
B．5
C．25
D．0

4. 难度：中等

已知=（ ）
A．1+2i
B．1-2i
C．2+i
D．2-i

5. 难度：中等

为了了解高二学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图），已知从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1，则该班学生数学成绩在（80，100）之间的学生人数是（ ）

A．32人
B．27人
C．24人
D．33人

6. 难度：中等

将389化成四进位制数的末位是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．0

7. 难度：中等

已知随机变量X的分布列为：P（X=k）=，k=1，2，…，则P（2＜X≤4）等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若椭圆上有一点P，它到左准线的距离为，那么点P到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是（ ）
A．4：1
B．9：1
C．12：1
D．5：1

9. 难度：中等

已知（1+x）+（1+x）²+…+（1+x）ⁿ=a+a₁x+…+a_nxⁿ，若a₁+a₂+…+a_n-1=29-n，那么正整数n的值是（ ）
A．4
B．3
C．6
D．5

10. 难度：中等

如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：
原点处标0，点（1，0）处标1，点（1，-1）处标2，点（0，-1）处标3，点（-1，-1）处标4，点（-1，0）标5，点（-1，1）处标6，点（0，1）处标7，…，以此类推，则标2009²的格点的坐标为（ ）

A．（1005，1004）
B．（1004.1003）
C．（2009，2008）
D．（2008，2007）

二、填空题

11. 难度：中等

对总数为n的一批零件进行检验，现抽取一个容量为45的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则零件的总数n等于    ．

12. 难度：中等

点A（3，2），F为抛物线y²=12x的焦点，点P在抛物线上运动，当|PF|+|PA|取最小值时的点P的坐标是    ．

13. 难度：中等

一排共9个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入座：每人左右两旁都有空座位，且甲必须在乙、丙两人之间，则不同的坐法共有    种（用数字作答）．

14. 难度：中等

利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程有实根的概率为     ．

15. 难度：中等

函数的最小值为    ．

16. 难度：中等

在棱长为2的正方体AC₁中，G是AA₁的中点，则BD到平面GB₁D₁的距离是    ．

17. 难度：中等

下列说法：
①用“辗转相除法”求得243，135 的最大公约数是9；
②命题p：∀x∈R，，则¬p是；
③已知条件p：x＞1，y＞1，条件q：x+y＞2，xy＞1，则条件p是条件q成立的充分不必要条件；
④若，则；
⑤已知，则f（n）中共有n²-n+1项，当n=2时，；
⑥直线l：y=kx+1与双曲线C：x²-y²=1的左支有且仅有一个公共点，则k的取值范围是-1＜k＜1或．
其中正确的命题的序号为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．
（1）求白球的个数；
（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-A的大小；
（3）求直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．

20. 难度：中等

已知函数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若曲线y=f（x）上两点A，B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围．
（3）当x∈[-1，2]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3a，求a的取值范围．

21. 难度：中等

椭圆C的中心坐标为原点O，焦点在y轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A．
（1）求椭圆方程；
（2）若的取值范围｡．