2008-2009学年北京市宣武区高二（下）模块检测数学试卷（选修2-2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知函数f（x）在x处的导数为1，则等于（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1

2. 难度：中等

函数y=xcosx的导数为（ ）
A．y′=cosx-xsin
B．y′=cosx+xsin
C．y′=xcosx-sin
D．y′=xcosx+sin

3. 难度：中等

曲线y=x⁴上某点切线的斜率等于4，则此点坐标为（ ）
A．（1，1）和（-1，1）
B．（1，1）
C．（-1，1）和（-1，-1）
D．（-1，-1）

4. 难度：中等

若复数z=（x²-4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

函数y=f（x）的图象如图所示，若f（x）dx=m，则f（x）dx等于（ ）
A．m
B．2m
C．0
D．-m

6. 难度：中等

若实数a=+，b=2，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＜b
B．a=b
C．a＞b
D．不确定

7. 难度：中等

复数z满足|z-3|=|z+3|，且|z|=5，则z等于（ ）
A．±5
B．±5i
C．±3+5i
D．±3±4i

8. 难度：中等

∫²（x+e^x）dx的值为（ ）
A．4+e²
B．3+e²
C．2+e²
D．1+e²

9. 难度：中等

函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

设F（x）=f（x）g（x）是R上的奇函数，当x＜0时，f^′（x）g（x）+f（x）g^′（x）＞0，且g（2）=0，则不等式F（x）＜0的解集是（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞）
B．（-2，0）∪（0，2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-∞，-2）∪（0，2）

二、填空题

11. 难度：中等

复数i²⁰⁰⁹    ．

12. 难度：中等

计算∫_-2⁴|x|dx=    ．

13. 难度：中等

复数=    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=lnx-x的单调递增区间是    ；单调递减区间是    ．

15. 难度：中等

下列图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依次规律，在横线上方处画出与图5对应的图形    ；按图示的规律画下去，则第n个图的正方形个数a_n可以是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，求证：a（b²+c²）+b（c²+a²）≥4abc．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²+3x，a∈R，
（1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，5]上的最大值；（2）若函数f（x）是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²-bx+c（a＞0，b、c∈R），曲线y=f（x）经过点P（0，2a²+8），且在点Q（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，设g（x）=（f（x）-16）•e^-x．
（1）用a分别表示b和c；（2）当取得最小值时，求函数g（x）的单调递增区间．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-，S_n+=a_n-2（n≥2，n∈N）
（1）求S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表达式；并用数学归纳法加以证明．