2009-2010学年浙江省宁波市余姚中学高三（上）第一次质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设A、B是两个集合，定义A-B={x|x∈A，且x∉B}，若M={x||x+1|≤2}，N={x|x=|sinα|，α∈R}，则M-N=（ ）
A．[-3，1]
B．[-3，0）
C．[0，1]
D．[-3，0]

2. 难度：中等

函数y=的定义域为（ ）
A．[-3，4]
B．（1，4]
C．（1，）∪（，4]
D．（-3，）∪（，4]

3. 难度：中等

函数y=lg（-1）的图象的对称轴或对称中心是 （ ）
A．直线y=
B．x轴
C．y轴
D．原点

4. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），且函数的图象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＞0，则下述式子中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．以上关系均不确定

6. 难度：中等

函数y=sinx和y=tanx的图象在[-2π，2π]上交点的个数为（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9

7. 难度：中等

如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足，则f（2009）的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

9. 难度：中等

已知f（x）=ax³-3x+1对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0 成立，则a=（ ）
A．a≥2
B．a≤4
C．a≥4
D．a=4

10. 难度：中等

函数f（x）和g（x）的定义域为[a，b]，若对任意的x∈[a，b]，总有，则称f（x）可被g（x）“置换”．下列函数中，能置换函数，x∈[4，16]的是（ ）
A．
B．g（x）=x²+6，x∈[4，16]
C．g（x）=x+6，x∈[4，16]
D．g（x）=2x+6，x∈[4，16]

二、填空题

11. 难度：中等

幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的解析式是    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=2009+a^x+log_a（1-x）（a＞0且a≠1）的图象过定点，该定点的坐标是    ．

13. 难度：中等

函数的值域是    ．

14. 难度：中等

函数y=的单调减区间是     ．

15. 难度：中等

已知a∈（0，π），且sina+cosa=，则cos2a的值为    ．

16. 难度：中等

设奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，f（-1）=-1．若函数f（x）≤t²-2at+1对所有的x∈[-1，1]都成立，则当a∈[-1，1]时，t的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知定义域为R的函数f （x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f （x）cosy，且f（0）=0，f（）=1．给出下列结论：
①f（）=
②f（x）为奇函数  
③f（x）为周期函数  
④f（x）在（0，π）内为单调函数
其中正确的结论是    ．（ 填上所有正确结论的序号）．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²的最大值和最小正周期；
（2）若f（x）=2f'（x），求的值．

19. 难度：中等

（1）设函数为奇函数，求m的值；
（2）已知是R上的增函数，求a的取值范围．

20. 难度：中等

在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=，sinB=．
（1）求A+B的值；
（2）若a-b=-1，求a、b、c的值．

21. 难度：中等

某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m，∠BCD=60°，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD的长，可使建造这个支架的成本最低？

22. 难度：中等

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当a=3时，求函数f（x）的单调性；
（3）当x∈[1，+∞）时，求函数f（x）的最小值．