2008-2009学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a，b∈R，若（a+b）+i=-10+abi（i为虚数单位），则等于（ ）
A．-12
B．-8
C．8
D．10

2. 难度：中等

（x+1）¹⁰的展开式中的第六项是（ ）
A．210x⁴
B．252x⁵2
C．210x⁶
D．210

3. 难度：中等

“平面α内的两条直线l、m都平行于平面β”是“α∥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

4. 难度：中等

观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在（2700，3000]的频率为（ ）
A．0.001
B．0.1
C．0.2
D．0.3

5. 难度：中等

下列图形中，可能是方程ax+by²=0和ax²+by²=1（a≠0且b≠0）图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在平面内，设半径分别为r₁，r₂的两个圆相离且圆心距为d，若点M，N分别在两个圆的圆周上运动，则|MN|的最大、最小值分别为d+r₁+r₂和d-r₁-r₂，在空间中，设半径分别为R₁，R₂的两个球相离且球心距为d，若点M，N分别在两个球面上运动，则|MN|的最大、最小值分别为（ ）
A．d-R₁-R₂和d+R₁+R₂
B．d+R₁+R₂和d-R₁-R₂
C．d-R₁+R₂和d+R₁-R₂
D．R₁+R₂-d和0

7. 难度：中等

已知三角形的三边是10以内（不包含10）的三个连续的正整数，则任取一个三角形是锐角三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

给出下列命题：
（1）∀x∈（0，+∞），恒有log₂x+2²＞2x成立；
（2）∃x∈（0，+∞），使得log₂x+2^x＞2x成立；
（3）∀（a，b）∈{（x，y）|y=2^x}，必有（b，a）∈{（x，y）|y=log₂x}；
（4）∃x∈（0，+∞），使得log₂x=2^x．
其中正确命题是（ ）
A．（1）（3）
B．（1）（4）
C．（2）（3）
D．（2）（4）

9. 难度：中等

输入m=143，n=88，执行程序框图，那么输出的m等于（ ）

A．11
B．9
C．13
D．7

10. 难度：中等

函数f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示，其中-3，2，4是f'（x）=0的根，现给出下列命题：
（1）f（4）是f（x）的极小值；
（2）f（2）是f（x）极大值；
（3）f（-2）是f（x）极大值；
（4）f（3）是f（x）极小值；
（5）f（-3）是f（x）极大值．
其中正确的命题是（ ）

A．（1）（2）（3）（4）（5）
B．（1）（2）（5）
C．（1）（2）
D．（3）（4）

二、填空题

11. 难度：中等

双曲线的焦点坐标是    ．

12. 难度：中等

已知f（x）=lnx，则f′（x）=    ．

13. 难度：中等

已知两条抛物线 y₁=x²+2mx+4，y₂=x²+mx-m 中至少有一条与x轴有公共点，则实数m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知函数y=f（x）（x∈R）上任意一点P（x，f（x））处的切线的斜率k=（x-2）（x-5）²，则该函数的单调减区间为    ．

15. 难度：中等

椭圆ax²+by²=1与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为    ．

16. 难度：中等

在平面内，1条直线把平面分成2部分，2条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成7部分，…，则n条直线最多把平面分成f（n）部分，则f（n）=    ．

17. 难度：中等

由0，1，2，3，4，5六个数字组成的四位数中，若数字可以重复，则含有奇数个1的数共有    个．

三、解答题

18. 难度：中等

已知三点P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）．
（Ⅰ）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆标准方程；
（Ⅱ）设点P、F₁、F₂关于直线y=x的对称点分别为P′、F₁′、F₂′，求以F₁′、F₂′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2．
（1）证明：面PAD⊥面PCD；
（2）求直线DC与面PBC所成的角的正弦值．

20. 难度：中等

盒子内有相同的白球和红球，任意摸了一个球是红球的概率为0.1，每次摸出球后都放回盒子内．
（1）摸球5次，求仅出现一次红球的概率（保留2位有效数字）；
（2）摸球3次，出现X次红球，写出随机变量X的分布列，并求X的均值和方差；
（3）求从第一次起连续摸出白球数不小于3的概率．

21. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1．
（Ⅰ）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f （x）的表达式；
（Ⅱ）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围．