2011-2012学年浙江省杭州市萧山九中高三数学暑假作业2（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²+bx+c（b、c∈R），不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．
（1）求证：b+c=-1；
（2）求证：c≥3；
（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b、c的值．

二、选择题

2. 难度：中等

设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（ ）
A．1
B．3
C．4
D．8

3. 难度：中等

函数f（x）=log₂（2x）与在同一坐标系下的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”和这个命题真值相同的命题（ ）
A．若一个数是负数，则它的平方是正数
B．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
C．若一个数的平方是正数，则它是负数
D．若一个数不是负数，则它的平方是非负数

5. 难度：中等

若非空集合S⊆{1，2，3，4，5}，且若a∈S，则必有6-a∈S，则所有满足上述条件的集合S共（ ）
A．6个
B．7个
C．8个
D．9个

6. 难度：中等

在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1-y）．若不等式（x-a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（ ）
A．-1＜a＜1
B．0＜a＜2
C．
D．

7. 难度：中等

设a，b∈R，a²+2b²=6，则a+b的最小值是（ ）
A．-2
B．-
C．-3
D．-

8. 难度：中等

已知命题p：∃x∈（-∞，0），2^x＜3^x；命题q：∀x∈（0，），tanx＞sinx，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．p∨（﹁q）
C．（﹁p）∧q
D．p∧（﹁q）

9. 难度：中等

函数y=ln的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设0＜x＜，则“x sin²x＜1”是“x sinx＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

11. 难度：中等

已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件

12. 难度：中等

关于x的不等式|x-1|+|x-2|＞a²+a+1的解集为R，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（-1，0）
C．（1，2）
D．（-∞，-1）

13. 难度：中等

定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2-x），且其导函数f′（x）满足，则当2＜a＜4时，有（ ）
A．f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
B．f（2）＜f（2^a）＜f（log₂a）
C．f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a）
D．f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）

三、填空题

14. 难度：中等

已知直线ax+by-2=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=a^x-2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，则的最小值为     ．

15. 难度：中等

若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

实数x，y满足，则的取值范围为    ．

17. 难度：中等

请阅读下列材料：若两个正实数a₁，a₂满足a₁²+a₂²=1，那么a₁+a₂．证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2（a₁+a₂）x+1，因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以△≤0，从而得4（a₁+a₂）²-8≤0，所以a₁+a₂．根据上述证明方法，若n个正实数满足a₁²+a₂²+…+a_n²=1时，你能得到的结论为    ．

四、解答题

18. 难度：中等

已知p：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．若p或q为真，p且q为假．求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

已知关于x的不等式（k²+4k-5）x²+4（1-k）x+3＞0对任何实数x都成立，求实数k的取值范围．

20. 难度：中等

设函数．
（1）求函数f（x）的单调区间、极值．
（2）若当x∈[a+1，a+2]时，恒有|f′（x）|≤a，试确定a的取值范围．