2008-2009学年广东省中山市高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，=（ ）
A．-1
B．1
C．-i
D．i

2. 难度：中等

下面几种推理是合情推理的是（ ）
（1）由圆的性质类比出球的有关性质；
（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n-2）•180°．
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（1）（2）（4）
D．（2）（4）

3. 难度：中等

对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是（ ）
A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B．“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D．“ac=bc”是“a=b”的充分条件

4. 难度：中等

两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R²如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型1的相关指数R²为0.98
B．模型2的相关指数R²为0.80
C．模型3的相关指数R²为0.50
D．模型4的相关指数R²为0.25

5. 难度：中等

已知x与y之间的一组数据如表，则y与x的线性回归方程=x+必过（ ）

x		1	2	3
y	1	3	5	7

A．点（2，2）
B．点（1.5，0）
C．点（1，2）
D．点（1.5，4）

6. 难度：中等

若由一个2*2列联表中的数据计算得k²=4.013，那么有（ ）把握认为两个变量有关系．

A．95%
B．97.5%
C．99%
D．99.9%

7. 难度：中等

如图所示的程序框图输出的结果是（ ）
A．5
B．20
C．24
D．60

8. 难度：中等

中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

抛物线y²=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是（ ）
A．（9，6）
B．（6，9）
C．（±6，9）
D．（9，±6）

10. 难度：中等

若函数f（x）=x³-3a²x+1的图象与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，+∞）
B．（-∞，1）
C．（-1，+∞）
D．（-1，1）

二、填空题

11. 难度：中等

已知复数（m²-5m+6）+（m²-3m）i是纯虚数，则实数m=    ．

12. 难度：中等

若函数f（x）=x³-ax²+1在（0，2）内单调递减，则实数a的范围为    ．

13. 难度：中等

从1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=1+2+3，1-4+9-16=-（1+2+3+4），…，推广到第n个等式为    ．

14. 难度：中等

已知曲线C₁，C₂的极坐标方程分别为ρcosθ=3，，则曲线C₁与C₂交点的极坐标为    ．

15. 难度：中等

已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

当实数m取何值时，复平面内表示复数z=（m²-8m+15）+（m²-5m-14）i的点
（1）位于第四象限？
（2）位于第一、三象限？
（3）位于直线y=x上？

17. 难度：中等

一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：

转速x（转/秒）	16	14	12	8
每小时生产有缺点的零件数y（件）	11	9	8	5

（1）利用散点图或相关系数r的大小判断变量y对x是否线性相关？为什么？
（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（最后结果精确到0.001．参考数据：，16×11+14×9+12×8+8×5=438，16²+14²+12²+8²=660，11²+9²+8²+5²=291）．

18. 难度：中等

已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则，这是平面几何中的一个命题，其证明方法常采用“面积法”：．运用类比猜想，对于空间四面体存在什么类似的命题？并用“体积法”证明．

19. 难度：中等

点P是椭圆16x²+25y²=1600上一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，又知点P在x轴上方，F₂为椭圆的右焦点，直线PF₂的斜率为：求△PF₁F₂的面积．

20. 难度：中等

如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；
（ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．

21. 难度：中等

已知f（x）=ax+lnx，x∈（0，e]，，其中e=2.71828…是自然对数的底数，a∈R．
（1）若a=-1，求f（x）的极值；
（2）求证：在（1）的条件下，；
（3）是否存在实数a，使f（x）的最大值是-3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．