2008-2009学年河北省衡水中学高一（下）第二次调研数学试卷（必修2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₃=7，a₇=-5，则公差d=（ ）
A．3
B．-3
C．2
D．-2

2. 难度：中等

若一条斜线段的长度是它在平面内的射影长度的2倍，则该斜线与平面所成的角为（ ）
A．60°
B．45°
C．30°
D．120°

3. 难度：中等

M是两异面直线所成角的集合，N是线面角所成角的集合，P是二面角的平面角的集合，则M，N，P三者之间的关系为（ ）
A．M=N⊂P
B．M⊂N⊂P
C．M⊂N=P
D．M=N=P

4. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别为AA₁、AB、BB₁、BC₁的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）

A．45°
B．60°
C．90°
D．120°

5. 难度：中等

已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为2的正三角形，则△ABC的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是（ ）
A．α内的所有直线都与直线l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内的直线与l都相交
D．直线l与平面α有公共点

7. 难度：中等

如图为一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD=AD=2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（ ）

A．
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

函数的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．

10. 难度：中等

给出下列命题，正确的是（ ）
①一条直线与另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的所有直线平行；
③经过两条异面直线a，b外一点，必有一个平面与a，b都平行；
④经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面平行于另一条直线．
A．③④
B．①④
C．④
D．①③④

11. 难度：中等

设有直线m、n和平面α，β，则下列说法中正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
B．若m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α∥β
C．若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β
D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β

12. 难度：中等

已知等比数列{a_n}前n项和S_n=3ⁿ⁺¹+a，数列{b_n}的通项公式为b_n=aⁿ，b_n的前n项和为（ ）
A．
B．
C．
D．-n

二、填空题

13. 难度：中等

一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为    ．

14. 难度：中等

已知x+3y=2，则3^x+27^y的最小值为   

15. 难度：中等

在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，且AC=BC=AA₁，则BC₁与面ACC₁A₁所成的角为     ．

16. 难度：中等

已知a_n是等差数列，a₂+a₄+a₆+a₈=16，求S₉=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}，a₁=1，a_n+1=2a_n+4，求{a_n}的通项公式．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．

19. 难度：中等

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为，侧棱长为4．
（1）求证：平面AB₁C⊥平面BDD₁B₁；
（2）求D₁到面AB₁C的距离；
（3）求三棱锥D₁-ACB₁的体积V．

20. 难度：中等

已知数列a_n满足a₁=1，n≥2时，．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求的前n项和．

21. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．

22. 难度：中等

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G．
（1）求二面角B₁-EF-B的正切值；
（2）M为棱BB₁上的一点，当的值为多少时能使D₁M⊥平面EFB₁？试给出证明．