2010-2011学年黑龙江省哈尔滨九中高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，M={3，4，5}，N={1，3，6}，则集合{2，7}等于（ ）
A．M∩N
B．（C∪M）∩（C∪N）
C．（C∪M）∪（C∪N）
D．M∪N

2. 难度：中等

奇函数f（x）在（0，+∞）上的解析式是f（x）=x（1-x），则在（-∞，0）上f（x）的函数解析式是（ ）
A．f（x）=-x（1-x）
B．f（x）=x（1+x）
C．f（x）=-x（1+x）
D．f（x）=x（x-1）

3. 难度：中等

抛物线y=4x²上一点到直线y=4x-5的距离最短，则该点的坐标是（ ）
A．（1，2）
B．（0，0）
C．
D．（1，4）

4. 难度：中等

已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

双曲线的离心率为2，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．1

6. 难度：中等

极坐标方程表示的图形是（ ）
A．两个圆
B．两条直线
C．一个圆和一条射线
D．一条直线和一条射线

7. 难度：中等

椭圆上有一点P，F₁，F₂是椭圆的左、右焦点，△F₁PF₂为直角三角形，则这样的点P有（ ）
A．3个
B．4个
C．6个
D．8个

8. 难度：中等

将函数y=3sin2x的图象按向量平移之后所得函数图象的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知，且u=x²+y²-4x-4y+8，则u的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别是S_n和T_n，已知，则=（ ）
A．7
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知，则与夹角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知M是椭圆上一点，两焦点为F₁，F₂，点P是△MF₁F₂的内心，连接MP并延长交F₁F₂于N，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若（i为虚数单位），则a+b=    ．

14. 难度：中等

AB是抛物线y²=x的一条焦点弦，若|AB|=4，则AB的中点到直线的距离为     ．

15. 难度：中等

若a，b，c是直角三角形△ABC的三边的长（c为斜边），则圆C：x²+y²=4被直线l：ax+by+c=0所截得的弦长为    ．

16. 难度：中等

设{a_n}是公比为q的等比数列，其前项积为，并满足条件，给出下列结论：（1）0＜q＜1；（2）T₁₉₈＜1；（3）a₉₉a₁₀₁＜1；（4）使T_n＜1成立的最小自然数n等于199，其中正确的编号为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）求y的最大值．

18. 难度：中等

已知直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为
（1）求直线l的倾斜角；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

19. 难度：中等

椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点且离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

20. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D，E，F分别是B₁A，CC₁，BC的中点．
（1）求证：B₁F⊥平面AEF；
（2）求二面角B₁-AE-F的正切值．

21. 难度：中等

已知抛物线C：x²=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为．
（1）试求抛物线C的方程；
（2）设抛物线C上一点P的横坐标为t（t＞0），过P的直线交C于另一点Q，交x轴于M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-kx，
（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+f（-x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N⁺）．