2010-2011学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合P={x|x²-9＜0}，Q={x∈Z|-1≤x≤3}，则P∩Q=（ ）
A．{x|-3＜x≤3}
B．{x|-1≤x＜3}
C．{-1，0，1，2，3}
D．{-1，0，1，2}

2. 难度：中等

若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知命题p：∃x＞1，x²-1＞0，那么¬p是（ ）
A．∀x＞1，x²-1＞0
B．∀x＞1，x²-1≤0
C．∃x＞1，x²-1≤0
D．∃x≤1，x²-1≤0

4. 难度：中等

如果向量与共线且方向相反，那么k的值为（ ）
A．-3
B．2
C．
D．

5. 难度：中等

有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有（ ）
A．24种
B．48种
C．96种
D．120种

6. 难度：中等

设偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，且f（2）•f（4）＜0，那么下列四个命题中一定正确的是（ ）
A．f（3）•f（5）≥0
B．函数在点（-4，f（-4））处的切线斜率k₁＜0
C．f（-3）＞f（-5）
D．函数在点（4，f（4））处的切线斜率k₂≥0

7. 难度：中等

程序框图如图所示，将输出的a的值依次记为a₁，a₂，…，a_n，其中n∈N^*且n≤2010．那么数列{a_n}的通项公式为（ ）
A．a_n=2•3 ^n-1
B．a_n=3ⁿ-1
C．a_n=3n-1
D．a_n=（3n²+n）

8. 难度：中等

用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设，那么由函数y=f（x）的图象、x轴、直线和直线x=2所围成的封闭图形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

计算=    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，如果a：b：c=3：2：4，那么cosC=    ．

11. 难度：中等

某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为    ，    ．

12. 难度：中等

过点（-3，4）且与圆（x-1）²+（y-1）²=25相切的直线方程为    ．

13. 难度：中等

已知x，y满足约束条件那么z=x+3y的最小值为    ．

14. 难度：中等

定义方程f（x）=f'（x）的实数根x叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=cosx（）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2cos²ωx（x∈R，ω＞0），相邻两条对称轴之间的距离等于．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x值．

16. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，点D在AB上．
（Ⅰ）求证：AC⊥B₁C；
（Ⅱ）若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅲ）当时，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

17. 难度：中等

某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是0.6，答对第二题的概率是0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响．
（I） 求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；
（Ⅱ）记ξ为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

18. 难度：中等

已知O为平面直角坐标系的原点，过点M（-2，0）的直线l与圆x²+y²=1交于P，Q两点．
（I）若，求直线l的方程；
（Ⅱ）若△OMP与△OPQ的面积相等，求直线l的斜率．

19. 难度：中等

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当0＜a＜2时，求函数g（x）=f（x）-x²-ax-1在区间[0，3]的最小值．

20. 难度：中等

已知函数，数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．当a取不同的值时，得到不同的数列{a_n}，如当a=1时，得到无穷数列1，3，，，…；当a=2时，得到常数列2，2，2，…；当a=-2时，得到有穷数列-2，0．
（Ⅰ）若a₃=0，求a的值；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b₁=-2，b_n=f（b_n+1）（n∈N^*）．求证：不论a取{b_n}中的任何数，都可以得到一个有穷数列{a_n}；
（Ⅲ）若当n≥2时，都有，求a的取值范围．