2010-2011学年浙江省杭州市学军中学高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

给出下列四个命题：1）若z∈C，则z²≥0； 2）2i-1虚部是2i； 3）若a＞b，则a+i＞b+i；4）若z₁，z₂∈C，且z₁＞z₂，则z₁，z₂为实数；其中正确命题的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

2. 难度：中等

在复平面内复数（1+bi）（2+i）（i是虚数单位，b是实数）表示的点在第四象限，则b的取值范围是（ ）
A．b＜-
B．b＞-
C．-＜b＜2
D．b＜2

3. 难度：中等

展开式中不含x⁴项的系数的和为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

4. 难度：中等

下面几种推理中是演绎推理的序号为（ ）
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B．猜想数列{a_n}的通项公式为（n∈N₊）
C．半径为r圆的面积S=πr²，则单位圆的面积S=π
D．由平面直角坐标系中圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，推测空间直角坐标系中球的方程为（x-a）²+（y-b）²+（z-c）²=r²

5. 难度：中等

函数的最大值为（ ）
A．e^-1
B．e
C．e²
D．

6. 难度：中等

如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（ ）
A．210
B．420
C．630
D．840

8. 难度：中等

若函数f（x）=log_a（x³-ax）（a＞0，a≠1）在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知集合A={3^m+2n|m＞n}且m，n∈N，若将集合A中的数按从小到大排成数列{a_n}，则有a₁=3¹+2×0=3，a₂=3²+2×0=9，a₃=3²+2×1=11，a₄=3³=27，…依此类推，将数列依次排成如图所示的三角形数阵，则第六行第三个数为（ ）

A．247
B．735
C．733
D．731

10. 难度：中等

已知可导函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）和e^af（0）大小关系为（ ）
A．f（a）＜e^af（0）
B．f（a）＞e^af（0）
C．f（a）=e^af（0）
D．f（a）≤e^af（0）

二、填空题

11. 难度：中等

若复数z=（a-2）+3i（a∈R）是纯虚数，则=    ．

12. 难度：中等

若曲线f（x）=ax²+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为，则．类比这个结论可知：四面体A-BCD的四个面分别为S₁、S₂、S₃、S₄，内切球半径为R，四面体A-BCD的体积为V，则R=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+x²+mx+1在区间（-1，2）上不是单调函数，则实数m的取值范围是    ．

15. 难度：中等

由0，1，2，3，4，5六个数字组成的四位数中，若数字可以重复，则含有奇数个1的数共有    个．

16. 难度：中等

f（x）=ax³-3x+1对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知（n∈N^*）的展开式中第四项的系数与第二项的系数的比是7：3．
（Ⅰ）求展开式中各项系数的和；
（Ⅱ）求展开式中常数项．

18. 难度：中等

设函数f（x）=-x（x-a）²
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若a＞0，且方程f（x）+a=0有三个不同的实数解，求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（II）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列（要求画出分布表格）

20. 难度：中等

在数列{a_n}中，a_n＞0，．
（Ⅰ）求出a₁，a₂，a₃
（II）猜想数列通项{a_n}，并证明你的结论．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（II）若关于x的方程，在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（III）证明：对任意的正整数n，不等式成立．