2010-2011学年上海市浦东新区高三（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

函数f（x）=4^x-1的反函数f^-1（x）=    ．

2. 难度：中等

设集合A={5，log₂（a+3）}，集合B={a，b}．若A∩B={2}，则A∪B=    ．

3. 难度：中等

若事件A与B相互独立，且，则P（A∩B）=    ．

4. 难度：中等

写出系数矩阵为，且解为的一个线性方程组是    ．

5. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且，则角C的大小为    ．

6. 难度：中等

已知直线l经过点且方向向量为（2，-1），则原点O到直线l的距离为    ．

7. 难度：中等

在（x-a）¹⁰的展开式中，x⁷的系数是15，则=    ．

8. 难度：中等

一个袋子里装有外形和质地一样的5个白球、3个绿球、2个红球，将它们充分混合后，摸得一个白球记1分，摸得一个绿球记2分，摸得一个红球记4分，用随机变量ξ表示随机摸得一个球的得分，则随机变量ξ的均值为    ．

9. 难度：中等

在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=    cm．

10. 难度：中等

若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为    ．

11. 难度：中等

设a为非零实数，偶函数f（x）=x²+a|x-m|+1（x∈R）在区间（2，3）上存在唯一零点，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

方程所表示的曲线与直线y=x+b有交点，则实数b的取值范围是    ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．定义P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）两点之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．已知B（1，1），点M为直线x-y+4=0上的动点，则d（B，M）的最小值为    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=x（）^x+，O为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）的点，向量与向量=（1，0）的夹角为θ_n，则满足的最大整数n的值为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

极坐标方程表示的曲线是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

16. 难度：中等

设{a_n}是首项大于零的等比数列，则“a₁＜a₂”是“数列{a_n}是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

17. 难度：中等

函数y=cos（2x+）-2的图象F按向量a平移到F′，F′的函数解析式为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于．
A．（，-2）
B．（，2）
C．（，-2）
D．（，2）

18. 难度：中等

设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x²∈S．给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=-，则≤n≤1；③若n=，则-≤m≤0．其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

三、解答题

19. 难度：中等

关于x的不等式的解集为（-1，n）．
（1）求实数m、n的值；
（2）若z₁=m+ni，z₂=cosα+isinα，且z₁z₂为纯虚数，求的值．

20. 难度：中等

如图，已知点P在圆柱OO₁的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO₁的表面积为20π，OA=2，∠AOP=120°．
（1）求异面直线A₁B与AP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）求点A到平面A₁PB的距离．

21. 难度：中等

如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD和曲线段EF分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤．为观光旅游的需要，拟过栈桥CD上某点M分别修建与OA，OB平行的栈桥MG、MK，且以MG、MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK．建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲线段EF的方程是xy=200（5≤x≤40），设点M的坐标为（s，t），记z=s•t．（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度
（1）求z的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台MGK面积S_△MGK关于z的函数解析式，并求出该面积的最小值．

22. 难度：中等

定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．
（1）若椭圆，判断C₂与C₁是否相似？如果相似，求出C₂与C₁的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆C_b的方程；若在椭圆C_b上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围？
（3）如图：直线y=x与两个“相似椭圆”和分别交于点A，B和点C，D，试在椭圆M和椭圆M_λ上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使△CDF和△ABE组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）

23. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的首项为a₁=2，公比为q（q为正整数），且满足3a₃是8a₁与a₅的等差中项；数列{b_n}满足2n²-（t+b_n）n+b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试确定t的值，使得数列{b_n}为等差数列；
（3）当{b_n}为等差数列时，对任意正整数k，在a_k与a_k+1之间插入2共b_k个，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，试求满足T_n=2c_m+1的所有正整数m的值．