2010-2011学年北京市重点中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对于以下四个函数，在区间[1，2]上函数的平均变化率最大的是（ ）
①y=x；②y=x²；③y=x³；④．
A．①
B．②
C．③
D．④

2. 难度：中等

y=x²sinx，则y′=（ ）
A．2xsin
B．x²cos
C．2xcosx+x²cos
D．2xsinx+x²cos

3. 难度：中等

曲线y=e^x在点（2，e²）处的切线的横截距为（ ）
A．e²
B．-1
C．-e²
D．1

4. 难度：中等

函数f（x）=（x-3）e^x的单调递增区间是（ ）
A．（-∞，2）
B．（0，3）
C．（1，4）
D．（2，+∞）

5. 难度：中等

函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

设a∈R，若函数y=e^ax+3x，x∈R有大于零的极值点，则（ ）
A．a＞-3
B．a＜-3
C．a＞-
D．a＜-

7. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+2x²+x-4，g（x）=ax²+x-8．若∀x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），则实数a的取值范围（ ）
A．（-∞，5]
B．[5，+∞）
C．
D．

8. 难度：中等

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数 取函数f（x）=2-x-e^-x．若对任意的x∈（+∞，-∞），恒有f_k（x）=f（x），则（ ）
A．K的最大值为2
B．K的最小值为2
C．K的最大值为1
D．K的最小值为1

二、填空题

9. 难度：中等

曲线在点（1，1）处的切线方程为    ．

10. 难度：中等

已知直线y=x+2与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²+3x在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围    ．

13. 难度：中等

已知函数，则其定义域为    ；最大值为    ．

14. 难度：中等

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”；
定义：（2）设x为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x+x）+f（x-x）=2f（x）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x，f（x））对称．
己知f（x）=x³-3x²+2x+2，请回答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标    ；
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论    ．

三、解答题

15. 难度：中等

设函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）求导数f′（x）； 并证明f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂．

16. 难度：中等

已知椭圆C：的长轴长为，离心率．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点B（2，0）的直线l（斜率不等于零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），且△OBE与△OBF的面积之比为，求直线l的方程．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x²e^ax，其中a≤0，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．

18. 难度：中等

过x轴上的动点A（a，0）引抛物线y=x²+1的两切线AP，AQ．P，Q为切点．
（I）求切线AP，AQ的方程；
（Ⅱ）求证直线PQ过定点；
（III）若a≠0，试求的最小值．