2010-2011学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若集合，N={x|x²-x≤0}，则M∩N=    ．

2. 难度：中等

复数z满足，则z的虚部等于    ．

3. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，a₁₀=10，前10项和S₁₀=70，则其公差d=    ．

4. 难度：中等

某同学五次考试的数学成绩分别是120，129，121，125，130，则这五次考试成绩的方差是    ．

5. 难度：中等

已知m，n，l是三条直线，α，β是两个平面，下列命题中，正确命题的序号是   
①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；
②若l平行于α，则α内有无数条直线与l平行；
③若m∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．

6. 难度：中等

已知x，y∈R，且x+2y=1，则2^x+4^y的最小值是    ．

7. 难度：中等

直线ax-2y+2=0与直线x+（a-3）y+1=0平行，则实数a的值为    ．

8. 难度：中等

若抛物线y²=2px（p＞0）的焦点也是双曲线x²-y²=8的一个焦点，则p=    ．

9. 难度：中等

同时掷两枚骰子，所得的点数之和为6的概率是    ．

10. 难度：中等

如图所示算法流程图中，若a=tan135°，b=sin225°，c=cos315°，则输出的结果为    （写出具体数值）．

11. 难度：中等

三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是    ．

12. 难度：中等

设点P（x，y）是函数y=tanx与y=-x（x＞0）的图象的一个交点，则（x²+1）（cos2x+1）=    ．

13. 难度：中等

点M是椭圆上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是    ．

14. 难度：中等

若函数f（x）=x³-ax²（a＞0）在区间上是单调递增函数，则使方程f（x）=1000有整数解的实数a的个数是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知集合A={x|（x-2）（x-3a-1）＜0}，函数的定义域为集合B．
（1）若a=2，求集合B；
（2）若A=B，求实数a的值．

16. 难度：中等

△ABC中，三内角A，B，C成等差数列．
（1）若b=7，a+c=13，求此三角形的面积；
（2）求的取值范围．

17. 难度：中等

如图，等边△ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．
（1）证明：CM⊥DE；
（2）在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN．

18. 难度：中等

某广场一雕塑造型结构如图所示，最上层是一呈水平状态的圆环，其半径为2m，通过金属杆BC，CA₁，CA₂，CA₃支撑在地面B处（BC垂直于水平面），A₁，A₂，A₃是圆环上的三等分点，圆环所在的水平面距地面10m，设金属杆CA₁，CA₂，CA₃所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ．（圆环及金属杆均不计粗细）
（1）当θ的正弦值为多少时，金属杆BC，CA₁，CA₂，CA₃的总长最短？
（2）为美观与安全，在圆环上设置A₁，A₂，…，A_n（n≥4）个等分点，并仍按上面方法连接，若还要求金属杆BC，CA₁，CA₂，…，CA_n的总长最短，对比（1）中C点位置，此时C点将会上移还是下移，请说明理由．

19. 难度：中等

如图，已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，其右准线l与x轴的交点为T，过椭圆的上顶点A作椭圆的右准线l的垂线，垂足为D，四边形AF₁F₂D为平行四边形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设线段F₂D与椭圆交于点M，是否存在实数λ，使？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由；
（3）若B是直线l上一动点，且△AF₂B外接圆面积的最小值是4π，求椭圆方程．

20. 难度：中等

数列{a_n}的首项为1，前n项和是S_n，存在常数A，B使a_n+S_n=An+B对任意正整数n都成立．
（1）设A=0，求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}是等差数列，若p＜q，且，求p，q的值．
（3）设A＞0，A≠1，且对任意正整数n都成立，求M的取值范围．

21. 难度：中等

已知二阶矩阵M满足：，求M²．

22. 难度：中等

已知圆锥曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求焦点到准线的距离．

23. 难度：中等

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都相等，P为A₁B上的点，，且PC⊥AB．
（1）求λ的值；
（2）求异面直线PC与AC₁所成角的余弦值．

24. 难度：中等

已知数列{x_n}中，．
（Ⅰ）当p=2时，用数学归纳法证明
（Ⅱ）是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x_M≥x_n．