2009-2010学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题 p：∀x∈R，x≥1，那么命题¬p为（ ）
A．∀x∈R，x≤1
B．∃x∈R，x＜1
C．∀x∈R，x≤-1
D．∃x∈R，x＜-1

2. 难度：中等

已知向量=（2，3，1），=（1，2，0），则|-2|等于（ ）
A．
B．
C．2
D．3

3. 难度：中等

抛物线x²=-2py（p＞0）的焦点到其准线的距离是（ ）
A．
B．p
C．2p
D．4p

4. 难度：中等

已知命题p，q，若命题“¬p”与命题“p∨q”均为真命题，那么下列结论正确的是（ ）
A．p，q均为真命题
B．p，q均为假命题
C．p为真命题，q为假命题
D．p为假命题，q为真命题

5. 难度：中等

两个焦点坐标分别是F₁（-5，0），F₂（5，0），离心率为的双曲线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

”m＞n＞0”是”方程mx²+ny²=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

如图，在三棱锥A-BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB=DC，E为BC中点，则等于
（ ）

A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

若直线y=x+1与椭圆相交于A，B两个不同的点，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，点D是AB的中点，则直线B₁B和平面CDB₁所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

某荒漠上有相距4km的M，N两点，要围垦出以MN为一条对角线的平行四边形区域，建成农艺园．按照规划，围墙总长为12km．在设计图纸上，建立平面直角坐标系如图（O为MN的中点），那么平行四边形另外两个顶点P，Q的坐标满足的方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

命题“若a＞0，则a＞1”的逆命题是：    ．

12. 难度：中等

已知=（1，2，-1），=（x，y，2），且∥，那么x+y=    ．

13. 难度：中等

已知直线x-2y+2=0经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为    ，离心率为    ．

14. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，AA₁=1，那么=    ．

15. 难度：中等

若直线x-y=2与抛物线y²=4x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是    ．

16. 难度：中等

设a＞1，则双曲线 的离心率e的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知双曲线经过点，其渐近线方程为y=±2x．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F₁，F₂是双曲线的两个焦点，证明：AF₁⊥AF₂．

18. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．
（1）求直线BC₁和B₁D₁所成角的大小；
（2）求直线BC₁和平面B₁D₁DB所成角的大小．

19. 难度：中等

设直线l：y=x+1与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．
（Ⅰ）证明：a²+b²＞1；
（Ⅱ）若F是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．

四、填空题

20. 难度：中等

在数学考试中，甲的成绩在90分以上的概率是0.15，在80～89分的概率是0.45，在70～79分的概率是0.25，那么甲在数学考试中取得70分以上成绩的概率是    ．

21. 难度：中等

某工厂生产一种产品，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法抽样180件．若甲、乙、丙三条生产线抽取的件数组成一个等差数列，则乙生产线抽取了    件产品．

22. 难度：中等

某校甲、乙两个班级各有6名编号为1，2，3，4，5，6的学生进行投篮练习，每人投15次，投中的次数如下表：

学生	1号	2号	3号	4号	5号	6号
甲班	8	11	7	5	10	7
乙班	7	9	12	10	4	6

设以上两组数据的标准差中较小的一个为s，则s=    ．

23. 难度：中等

抛掷一红、一蓝两颗骰子各一次，则点数之和小于7的概率是    ．

24. 难度：中等

阅读如图的程序框图，输出的结果为    ．

五、解答题

25. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，不等式组所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点P（x，y）．
（1）若x，y∈Z，列出点P的所有可能的结果；
（2）若x，y∈R，求|OP|≤2的概率．

26. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，E是DD₁的中点．
（1）求证：AC⊥B₁D；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求的值；
（3）在（2）的条件下，求二面角D-AE-C的大小．

27. 难度：中等

已知抛物线y²=4x，点F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，O为坐标原点．
（1）当 时，求点M的坐标；
（2）求 的最大值；
（3）设点B（0，1），是否存在常数λ及定点H，使得 恒成立？若存在，求出λ的值及点H的坐标；若不存在，说明理由．