2008-2009学年浙江省宁波市慈溪市高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z满足zi=2-i，其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．-1+2i
B．-1-2i
C．1+2i
D．1-2i

2. 难度：中等

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知，，，则用向量a，b，c可表示向量=（ ）

A．a+b+c
B．a-b+c
C．a+b-c
D．-a+b+c

3. 难度：中等

已知t∈R，i为虚数单位，若复数z=（1+ti）（2+i）是纯虚数，则t的值等于（ ）
A．2
B．-2
C．
D．

4. 难度：中等

下列命题中是真命题的为（ ）
A．∀x∈R，x²＜
B．∀x∈R，x²≥
C．∃x∈R，∀y∈R，xy=y
D．∀x∈R，∃y∈R，y²＜

5. 难度：中等

函数f（x）在[-2，2]内的图象如图所示，若函数f（x）的导函数f′（x）的图象也是连续不间断的，则导函数f′（x）在（-2，2）内有零点（ ）

A．0个
B．1个
C．2个
D．至少3个

6. 难度：中等

已知双曲线C的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．4x±3y=0
B．3x±4y=0
C．4x±5y=0
D．5x±4y=0

7. 难度：中等

与命题“若a∈M则b∉M”的等价的命题是（ ）
A．若a∉M，则b∉M
B．若b∉M，则a∈M
C．若a∉M，则b∈M
D．若b∈M，则a∉M

8. 难度：中等

已知点P是抛物线x²=2y上的一动点，l为准线，过点P作直线l的垂线，垂足为N，已知定点M（2，0），则当点P在该抛物线上移动时，|PM|+|PN|的最小值等于（ ）
A．
B．3
C．
D．

9. 难度：中等

已知空间向量，满足条件：（+3）⊥（7-5），且（-4）⊥（7-2），则空间向量，的夹角＜，＞（ ）
A．等于30°
B．等于45°
C．等于60°
D．不确定

10. 难度：中等

若函数在区间（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．[1，+∞）
B．（1，+∞）
C．（-∞，1]
D．（-∞，1）

二、填空题

11. 难度：中等

“a＞3”是“方程表示的曲线是双曲线”的    条件
（供选填之一：“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．

12. 难度：中等

已知复数z=1-2i，是z的共轭复数，则复数所对应的点在复平面内的第    象限内．

13. 难度：中等

已知椭圆，焦点在y轴上，若焦距等于4，则实数k=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的可导函数，且f'（x）=1+sinx，则函数f（x）的解析式可以为    ．（只须写出一个符号题意的函数解析式即可）

15. 难度：中等

已知，，且，则λ+μ=    ．

16. 难度：中等

已知函数，则函数f（x）的单调递增区间为    ．

17. 难度：中等

某同学认为（a+b+c）²=a²+b²+c²成立，其理由是看上去和谐．请举出两个类似的等式，也是看上去具有和谐美，但实际上都是错误的．
等式一（要求与“导数”或“三角”有关）：        ；
等式二（要求与“向量”或“函数”有关）：    ．
[注：不按要求作答的不给分！]．

三、解答题

18. 难度：中等

如图，过点P（0，a³）（0＜a＜2）的两直线与抛物线y=-ax²相切于A，B两点，且AD和BC均垂直于直线y=-8，垂足分别为D，C，得矩形ABCD．
（1）求A，B两切点的坐标（用a表示）；
（2）设矩形ABCD的面积为S（a），求S（a）的最大值．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，点M，N分别为PB，BC的中点，且PA⊥平面ABCD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：MN⊥BD；
（2）若PA=1，求二面角M-AC-N的大小．

20. 难度：中等

已知：f（x）=x²+px+q．
求证：（1）f（1）+f（3）-2f（2）=2；
（2）|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于．

21. 难度：中等

已知抛物线C₁：y²=4px（p＞0），焦点为F₂，其准线与x轴交于点F₁；椭圆C₂：分别以F₁、F₂为左、右焦点，其离心率；且抛物线C₁和椭圆C₂的一个交点记为M．
（1）当p=1时，求椭圆C₂的标准方程；
（2）在（1）的条件下，若直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，且与抛物线C₁相交于A，B两点，若弦长|AB|等于△MF₁F₂的周长，求直线l的方程．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象与x轴交于A，B，C三点．若点B的坐标为（2，0），且函数f（x）在区间[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（1）求c的值；
（2）求的取值范围；
（3）求|AC|的最大值和最小值．