2009-2010学年湖南省岳阳市华容县一中高二（上）期末数学试卷（选修2-1及2-2第一节）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

给定命题“若a＞-3，则a＞-6”，则其否命题是（ ）
A．若a＞-3，则a≤-6
B．若a≤-3，则a＜-6
C．若a≤-3，则a≤-6
D．若a≥-3，则a≤-6

2. 难度：中等

设曲线y=ax²在点（1，a）处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a=（ ）
A．1
B．
C．
D．-1

3. 难度：中等

椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=BB₁，则CA₁与C₁B所成的角的大小是（ ）
A．60°
B．75°
C．90°
D．105°

5. 难度：中等

双曲线上的点P到一个焦点的距离为7，则其到另一个焦点的距离为（ ）
A．13或1
B．13
C．1
D．不能确定

6. 难度：中等

下列命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x²-3x+2≠0”
B．“x=1”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
D．对于命题p：∀x∈R均有x²+x+1＞0．则^¬p：∃x∈R，使得x²+x+1≤0

7. 难度：中等

设定义在（a，b）上的可导函数f（x）的导函数y=f'（x）的图象如右所示，则f（x）的极值点的个数为（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线上纵坐标为-2的点到抛物线焦点的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为    ．

10. 难度：中等

以椭圆的焦点为顶点，且以此椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程为    ．

11. 难度：中等

已知，则f（1）=    ．

12. 难度：中等

曲线y=e^x（其中e=2.71828…）在x=1处的切线方程为    ．

13. 难度：中等

如图，在二面角α-l-β的棱l上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，若，则二面角α-l-β的大小为    ．

14. 难度：中等

设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则点B到平面AB₁C的距离为    ．

15. 难度：中等

给出下列命题：
①如果向量，，共面，向量，，也共面，则向量，，，共面；
②已知直线a的方向向量与平面α，若∥平面α，则直线a∥平面α；
③若P、M、A、B共面，则存在唯一实数x、y使=x+y；
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x+y+z=1），则P、A、B、C四点共面； 在这四个命题中为真命题的序号有    ．

三、解答题

16. 难度：中等

求函数f（x）=x+2cosx在区间上的值域．

17. 难度：中等

过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，求线段AB的中点C到焦点F的距离．

18. 难度：中等

某厂生产产品x件的总成本c（x）=1200+（万元），已知产品单价P（万元）与产品件数x满足：P²=，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax⁴lnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范围．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点G是侧面三角形PBC的重心；
（1）求证：AC⊥平面PBD．
（2）求AG与平面PBD所成的角的正弦值．
（3）在侧棱PD上是否存在一点N，使得PB∥平面AGN？，若存在试确定点N的位置，若不存在，试说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）上的点到右焦点F的最小距离是-1，F到上顶点的距离为，点C（m，0）是线段OF上的一个动点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得（+）⊥，并说明理由．