2009-2010学年广东省广州市海珠区高三（上）摸底数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

不等式x²＜1的解集为（ ）
A．{x|-1＜x＜1}
B．{x|x＜1}
C．{x|x＞-1}
D．{x|x＜-1或x＞1}

2. 难度：中等

复数的共轭复数=（ ）
A．1+i
B．-1-i
C．-1+i
D．1-i

3. 难度：中等

曲线x²+y²-4x-2y-11=0上到直线3x+4y+5=0距离等于1的点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

已知sinx=2cosx，则sin²x+1=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，S₁₀＞0并且S₁₁=0，若S_n≤S_k对n∈N^*恒成立，则正整数k构成集合为（ ）
A．{5}
B．{6}
C．{5，6}
D．{7}

6. 难度：中等

已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于（ ）
A．15
B．21
C．19
D．17

7. 难度：中等

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若|a₃|=|a₁₁|，且公差d＜0，则当S_n取最大值时，n=（ ）
A．4或5
B．5或6
C．6或7
D．7或8

8. 难度：中等

若函数y=x³+x²+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．（，+∞）
B．（-∞，]
C．[，+∞）
D．（-∞，）

9. 难度：中等

设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n 
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ  
③若m∥α，n∥α，则m∥n  
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

10. 难度：中等

若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）-log₃|x|的零点个数是（ ）
A．多于4个
B．4个
C．3个
D．2个

二、填空题

11. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁，a₃，a₄成等比数列，则的值为    ．

12. 难度：中等

如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为    ．

13. 难度：中等

已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值是    ；最小值是    ．

14. 难度：中等

曲线（θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是    ．

15. 难度：中等

如下图4，⊙O′和⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延长线于N，MN=3，NQ=15，则 PN=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1-2 a_n=0，数列{b_n}中，b_n•a_n=（-1）ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}通项公式以及前n项的和．

18. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

如图（1），△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E、F分别为AC、AB的中点，将△AEF沿EF折起，使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）．
（1）求证：EF⊥A′C；
（2）求三棱锥F-A′BC的体积．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若且a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2）．
（Ⅰ）求证是等差数列，并求出a_n的表达式；
（Ⅱ） 若b_n=2（1-n）a_n（n≥2），求证b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

21. 难度：中等

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）．
（1）若函数f（x）有极大值32，求实数a的值；
（2）若对∀x∈[-2，1]，不等式恒成立，求实数a的取值范围．