2010-2011学年浙江省宁波市鄞州高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知某物体的运动方程是S=t+t³，则当t=3s时的瞬时速度是（ ）
A．10m/s
B．9m/s
C．4m/s
D．3m/s

2. 难度：中等

“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛．则甲、乙相遇的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知抛物线C₁：y²=4x与抛物线C₂关于直线y=x对称，C₁与C₂交于M，N两点，则线段|MN|的长度为（ ）
A．4
B．
C．8
D．

5. 难度：中等

命题“若a²+b²=0，则a，b全都为0”的否定为（ ）
A．若a²+b²=0，则a，b全不为0
B．若a²+b²≠0，则a，b全不为0
C．若a²+b²=0，则a，b不全为0
D．若a²+b²≠0，则a，b不全为0

6. 难度：中等

已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（ ）
A．x+2y+4=0
B．x+2y-4=0
C．2x+y+4=0
D．2x+y-4=0

7. 难度：中等

身高互不相同的4个人排成2横行2纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有排列数是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12

8. 难度：中等

设二项式的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8

9. 难度：中等

设f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，则当a＜x＜b时有（ ）
A．f（x）g（x）＞f（b）g（b）
B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（b）＞f（b）g（x）
D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）

10. 难度：中等

已知F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点，点P为双曲线上任意一点，过F₁作∠F₁PF₂的平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹方程为（ ）
A．x²+y²=a²
B．x²+y²=b²
C．x²-y²=a²
D．x²-y²=b²

二、填空题

11. 难度：中等

某人一次投篮的成功率为，则他在10次投篮中，投中次数的方差为    ．

12. 难度：中等

设曲线y=e^ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=    ．

13. 难度：中等

二项展开式的常数项的值为    ．

14. 难度：中等

设F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，|F₁F₂|=2c以O为圆心，以c为半径的圆与双曲线的四个交点及F₁、F₂恰好构成正六边形的六个顶点．则双曲线的离心率e=    ．

15. 难度：中等

5本不同的书分给4个人，每人至少一本，全部分完，共有    种不同的分法．

16. 难度：中等

“b²≠ac”是a，b，c不成等比数列的    条件．

17. 难度：中等

已知点O为抛物线y²=6x的顶点，△OAB的另外两个顶点A，B也在此抛物线上，若△OAB的垂心恰为抛物线的焦点F，则直线AB的方程为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3x²．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈[-4，3]时，求f（x）的最大值．

19. 难度：中等

已知F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，M是椭圆上任意一点，若△MF₁F₂的周长为6，椭圆的离心率．
（1）求椭圆方程；
（2）若O为坐标原点，求|OM|的最大值与最小值．

20. 难度：中等

在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…6）．
求：
（I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．

21. 难度：中等

已知抛物线x²=2py（p＞0）上一点P的坐标为（x，y）及直线上一点，过点Q作抛物线的两条切线QA，QB（A，B为切点）．
（1）求过点P与抛物线相切的直线l的方程；
（2）求直线AB的方程．
（3）当点Q在直线上变化时，求证：直线AB过定点，并求定点坐标．

22. 难度：中等

已知函数，g（x）=-（x²-3x+1）e^x-9（x＞0）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）是否存在x∈（0，+∞），使得g（x）＞f（x）？若存在，试求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）若∀x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂）+a，求a的取值范围．