2010年江苏省扬州市期末数学复习试卷3（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

集合A={3，2^a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=    ．

2. 难度：中等

给出如下三个命题，其中不正确 的命题的个数是    ．
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x≥2且y≥3，则x+y＜5”；
③四个实数a、b、c、d依次成等比数列的必要不充分条件是ad=bc；
④在△ABC中，“A＞45°”是“”的充分不必要条件．

3. 难度：中等

设复数，则a+b=    ．

4. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₇•a₉=4，a₄=1，则a₁₂的值是    ．

5. 难度：中等

设△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且，那么A=    ．

6. 难度：中等

若，，若，则向量与的夹角为    ．

7. 难度：中等

在等式tan95°-tan35°-=tan95°tan35°中，根号下的△表示的正整数是    ．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+2^x，若f（x²+2）＜f（3x），则实数X的取值范围是    ．

9. 难度：中等

矩形ABCD中，AB⊥x轴，且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y=asinax（a∈R，a≠0）的一个完整周期图象，则当a变化时，矩形ABCD周长的最小值为    ．

10. 难度：中等

直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点满足，则=    ．

11. 难度：中等

若三条直线x+y+1=0，2x-y+8=0和ax+3y-5=0共有三个不同的交点，则实数a满足的条件是    ．

12. 难度：中等

椭圆的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是    ．

13. 难度：中等

不等式a²+3b²≥λb（a+b）对任意a，b∈R恒成立，则实数λ的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知等差数列{a_n}首项为a，公差为b，等比数列{b_n}首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a₁＜b₁，b₂＜a₃，对于任意的n∈N^*，总存在m∈N^*，使得a_m+3=b_n成立，则a_n=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，．
（1）若，求x，y的值；
（2）若，，，且与的夹角为60°时，求的值．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c；
（Ⅰ）设向量，向量，向量，若，求tanB+tanC的值；
（Ⅱ）已知a²-c²=8b，且sinAcosC+3cosAsinC=0，求b．

17. 难度：中等

已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点A，B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求的取值范围．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：2x-y+3+8和圆C₁：x²+y²+8x+F=0．若直线l被圆C₁截得的弦长为2．
（1）求圆C₁的方程；
（2）设圆C₁和x轴相交于A、B两点，点P为圆C₁上不同于A、B的任意一点，直线PA、PB交y轴于M、N点．当点P变化时，以MN为直径的圆C₂是否经过圆C₁内一定点？请证明你的结论；
（3）若△RST的顶点R在直线x=-1上，S、T在圆C₁上，且直线RS过圆心C₁，∠SRT=30°，求点R的纵坐标的范围．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t为正常数，n=2，3，4…）．
（1）求证：{a_n}为等比数列；
（2）设{a_n}公比为f（t），作数列b_n使，试求b_n，并求b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1（n∈N*）

20. 难度：中等

在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数为减函数，则称函数f（x）为“弱增”函数．已知函数．
（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增”函数；
（2）设x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，证明；
（3）当x∈[0，1]时，不等式恒成立，求实数a，b的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数，．
（1）当b=0时，若f（x）在（-∞，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x，使得f（x）是f（x）的最大值，g（x）是g（x）的最小值；
（3）对满足（II）中的条件的整数对（a，b），试构造一个定义在D=x|x∈R且x≠2k，k∈Z上的函数h（x），使h（x+2）=h（x），且当x∈（-2，0）时，h（x）=f（x）．