2010-2011学年河南省平顶山市宝丰一高高二（下）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数z=（a-i）²是纯虚数，则实数a为（ ）
A．1
B．-1
C．0
D．±1

2. 难度：中等

用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度

3. 难度：中等

用数学归纳法证明（n∈N₊，n＞1）时，第一步应验证不等式（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

与直线2x-y+5=0平行的抛物线y=x²的切线方程为（ ）
A．2x-y-1=0
B．2x-y-3=0
C．2x-y+1=0
D．2x-y+3=0

5. 难度：中等

设f（x）=sinx，f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N，则f₂₀₁₁（x）=（ ）
A．-cos
B．cos
C．-sin
D．sin

6. 难度：中等

f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x），g（x）满足f′（x）=g′（x），则f（x）与g（x）满足（ ）
A．f（x）=g（x）
B．f（x）=g（x）=0
C．f（x）-g（x）为常数函数
D．f（x）+g（x）为常数函数

7. 难度：中等

函数f（x）=x²•e^x+1，x∈[-2，1]的最大值为（ ）
A．4e^-1
B．1
C．e²
D．3e²

8. 难度：中等

今天是星期一，再过2²⁰天，应是星期（ ）
A．二
B．三
C．四
D．五

9. 难度：中等

在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形，则第n个三角形数为（ ）

A．n
B．
C．n²-1
D．

10. 难度：中等

若函数f（x）=x³-12x在区间（k-1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（ ）
A．k≤-3或-1≤k≤1或k≥3
B．-3＜k＜-1或1＜k＜3
C．-2＜k＜2
D．不存在这样的实数k

11. 难度：中等

有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）
A．234
B．346
C．350
D．363

12. 难度：中等

过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）
A．18对
B．24对
C．30对
D．36对

二、填空题

13. 难度：中等

若，则实常数k为    ．

14. 难度：中等

的展开式中，常数项为    ．（用数字作答）

15. 难度：中等

将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有    种．（以数字作答）

16. 难度：中等

设函数f（x）=x^m+ax的导数为f′（x）=2x+1，则数列的前n项和为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

求抛物线y=3-2x-x²与x轴围成的封闭图形的面积．

18. 难度：中等

已知的展开式的二项式系数和比（3x-2）ⁿ的展开式的系数和大1023．求的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax⁴lnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范围．

20. 难度：中等

在直线y=x-2上是否存在点P，使得经过点P能作出抛物线的两条互相垂直的切线？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*都有S_n=2a_n-n，
（1）求数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式a_n，并用数学归纳法证明；
（3）求证：对任意n∈N^*都有．

22. 难度：中等

已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．
（1）求直线l的方程及实数m的值；
（2）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）-f（2a）＜．