2010-2011学年重庆市西南师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线x+3y-6=0的倾斜角的大小是（ ）
A．钝角
B．锐角
C．直角
D．无法确定

2. 难度：中等

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E为棱CC₁上的点，则B₁D₁与AE所成的角（ ）

A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

3. 难度：中等

若PQ是圆x²+y²=9的弦，PQ的中点是（1，2），则直线PQ的方程是（ ）
A．x+2y-3=0
B．x+2y-5=0
C．2x-y+4=0
D．2x-y=0

4. 难度：中等

4．设椭圆C₁的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C₂上的点到椭圆C₁的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C₂的标准方程为（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1
D．-=1

5. 难度：中等

已知F₁、F₂为双曲线C：x²-y²=1的左、右焦点，点P在C上，∠F₁PF₂=60°，则|PF₁|•|PF₂|=（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

6. 难度：中等

下面各命题中正确的是（ ）
A．直线m，n，m∥面α，n∥面β，则m∥n
B．直线m∥n，m⊂面α，n⊂面β，则α∥β
C．直线m⊥面α，直线n⊥面α，则m∥n
D．直线m⊂面α，n⊂面β，α∥β，则m，n异面

7. 难度：中等

设抛物线y²=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（ ）
A．
B．8
C．
D．16

8. 难度：中等

设双曲线C：的右焦点为F，右准线为l，设某条直线m交其左支、右支和右准线分别于P、Q、R，则∠PFR和∠QFR的大小关系是（ ）
A．大于
B．小于
C．等于
D．大于或等于

9. 难度：中等

若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．8

10. 难度：中等

已知点P的双曲线（a＞0，b＞0）右支上一点，F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若S_△IPF1=S_△IPF2+λS_△IF1F₂成立，则λ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

三条直线x+y+1=0，2x-y+8=0，ax+3y-5=0只有两个不同的交点，则a=    ．

12. 难度：中等

在四面体PABC中，各棱长均为2，M为棱AB的中点，则异面直线PA和CM所成角的余弦值为    ．

13. 难度：中等

变量x、y满足，则z=4x-3y的最大值为    ．

14. 难度：中等

若点A的坐标为（-3，2），F为抛物线y²=-4x的焦点，点P是抛物线上的动点，当|PA|+|PF|取最小值时，P的坐标为    ．

15. 难度：中等

如图是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的一种平面展开图，在这个正方体中，E、F、M、N均为所在棱的中点
①NE∥平面ABCD；
②FN∥DE；
③CN与AM是异面直线；
④FM与BD₁垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知圆C的圆心在y轴上，半径为1，且经过点P（1，2）．
（1）求圆的方程；
（2）直线l过点P且在圆上截得的弦长为，求l的方程．

17. 难度：中等

如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°．
（1）求证：BC⊥PB；
（2）若AB=BC=2，PA=，E为PC中点，求AE与BC所成角的余弦值．

18. 难度：中等

抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上．
（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（2）若直线AB与x 轴交于点M（x，0），且y₁•y₂=-4，求证：点M的坐标为（1，0）．

19. 难度：中等

如图，边长为a的正三角形ABC，PA⊥平面ABC，PA=a，QC⊥平面ABC，QC=，PQ与AC延长线交于F点．
（1）若D为PB中点，证明：QD∥平面ABC；
（2）证明：BF⊥平面PAB．

20. 难度：中等

已知点是椭圆E：（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

如图，设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁，F₂为焦点，离心率e=的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C₂的方程；
（2）当△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数时，求抛物线方程；此时设⊙C₁、⊙C₂…⊙C_n是圆心在y²=4mx（m＞0）上的一系列圆，它们的圆心纵坐标分别为a₁，a₂…a_n，已知a₁=6，a₁＞a₂＞…＞a_n＞0，又⊙C_k（k=1，2，…，n）都与y轴相切，且顺次逐个相邻外切，求数列{a_n}的通项公式．