2007-2008学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科） （解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

sin930°的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

过两点（-1，1）和（0，3）的直线在x轴上的截距为（ ）
A．-
B．
C．3
D．-3

3. 难度：中等

已知函数y=log₂x的反函数是y=f^-1（x），那么函数y=f^-1（x）+1的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知向量，且a∥b，则锐角θ等于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°

5. 难度：中等

设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
①若α∥β，α∥γ，则β∥γ
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β
④若m∥n，n⊂α，则m∥α
其中真命题的序号是（ ）
A．①④
B．②③
C．②④
D．①③

6. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₁+a₇+a₈+a₁₂=12，则此数列的前13项之和为（ ）
A．39
B．52
C．78
D．104

7. 难度：中等

已知点A（0，b），B为椭圆+=1（a＞b＞0）的左准线与x轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[0，1]，那么满足条件的整数数对（a，b）共有（ ）
A．2个
B．3个
C．5个
D．无数个

二、填空题

9. 难度：中等

双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是    ．

10. 难度：中等

把函数y=sin2x的图象按向量平移得到的函数图象的解析式为    ．

11. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若M为的棱BB₁的中点，则异面直线B₁D与AM所成角的余弦值是    ．

12. 难度：中等

已知函数那么不等式f（x）＜0的解集为    ．

13. 难度：中等

设不等式组所表示的平面区域为S，则S的面积为     ；若A、B为S内的两个点，则|AB|的最大值为     ．

14. 难度：中等

平面α内有四个点，平面β内有五个点．从这九个点中，任取三点最多可确定     个平面；任取四点最多可确定     个四面体．（用数字作答）

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（I）求f（x）的最小正周期和值域；
（II）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若且a²=bc，试判断△ABC的形状．

16. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且数列{S_n}是以2为公比的等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求a₁+a₃+…+a_2n+1．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．
（I）求证：SB∥平面ACM；
（Ⅱ）求二面角D-AC-M的大小；
（Ⅲ）求证：平面SAC⊥平面AMN．

18. 难度：中等

某城市有30%的家庭订阅了A报，有60%的家庭订阅了B报，有20%的家庭同时订阅了A报和B报，从该城市中任取4个家庭．
（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率；
（Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率；
（Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A，B报都没有订阅的概率．

19. 难度：中等

已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0．
（I）求抛物线S的方程；
（II）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足PO⊥OQ．试说明动直线PQ是否过一个定点．

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），f′（x）是f（x）的导函数，且f′（0）=2n，（n∈N^*）．
（1）求a的值；
（2）若数列{a_n}满足，且a₁=4，求数列{a_n}的通项公式；
（3）对于（II）中的数列{a_n}，求证：a₁+a₂+a₃+…+a_k＜5（k=1，2，3…）．