2010-2011学年北京市东城区示范校高三（上）12月联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac²＞bc²”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²-2x+1＜0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x²-2x+1≥0
B．∃x∈R，x²-2x+1＞0
C．∀x∈R，x²-2x+1≥0
D．∀x∈R，x²-2x+1＜0

3. 难度：中等

已知向量，向量，且，则实数x等于（ ）
A．-4
B．4
C．0
D．9

4. 难度：中等

设，则a，b，c大小关系为（ ）
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a

5. 难度：中等

向量a=（，sinx ），b=（cos2x，cosx），f（x）=a•b，为了得到函数y=f（x）的图象，可将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度

6. 难度：中等

曲线y=x³在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（ ）
A．
B．{x|x≤1}
C．
D．

8. 难度：中等

设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x²∈S．给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=-，则≤n≤1；③若n=，则-≤m≤0．其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

9. 难度：中等

已知：圆x²+y²=9与圆x²+y²-4x+4y-1=0关于直线l对称，则直线l的方程为    ．

10. 难度：中等

在空间中，有如下命题
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线
②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β
③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β
④若平面α内的三点A，B，C到平面β的距离相等，则α∥β
其中正确命题的序号是    ．

11. 难度：中等

若x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinB，则A角大小为    ．

13. 难度：中等

如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA₁⊥面A₁B₁C₁，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为    ．

14. 难度：中等

如图，n²（n≥4）个正数排成n行n列方阵：符号a_ij（1≤i，j≤n）表示位于第i行第j列的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q．若，a₂₄=1，，则q=    ，a_ij=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；
（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．

16. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a_n＞0，（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，a₃与a₅的等比中项为2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，当最大时，求n的值．

17. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60．，且BD⊥CD，正方形ADEF和平面ABCD成直二面角，G，H是DF，BE的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面CDE；
（Ⅱ）求证：GH∥平面CDE；
（Ⅲ）求三棱锥D-CEF的体积．

18. 难度：中等

设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．

19. 难度：中等

已知A（1，1）是椭圆=1（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂是椭圆的两焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，求直线CD的斜率．

20. 难度：中等

设C₁，C₂，…，C_n，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆C_n都与圆C_n+1相互外切，以r_n表示C_n的半径，已知{r_n}为递增数列．
（Ⅰ）证明：{r_n}为等比数列；
（Ⅱ）设r₁=1，求数列的前n项和．