2010-2011学年黑龙江省双鸭山一中高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合P={x∈N|1≤x≤3}，Q={x∈R|x²+x-6=0}，则P∩Q=（ ）
A．{2}
B．{0，2}
C．{1，2}
D．{0，1}

2. 难度：中等

如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数Z=（1+ai）i为“等部复数”则实数a的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

3. 难度：中等

“0≤a≤4”是“实系数一元二次方程x²+ax+a=0无实根”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知α是第二象限角，且的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

数列a_n满足：a₁=2，，数列a_n的前项n积为，则（ ）
A．
B．-1
C．
D．1

6. 难度：中等

已知命题p：关于x的函数y=x²-3ax+4在[1，+∞）上是增函数，命题q：y=（2a-1）^x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x+x，g（x）=log₂x+x，h（x）=log₂x-2的零点依次为a，b，c，则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c

8. 难度：中等

在实数集上定义运算⊗：x⊗y=x（1-y），若不等式（x-a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，1）
B．（0，2）
C．
D．

9. 难度：中等

若x、y、z均为正实数，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

（中数量积）已知平面向量a=（x₁，y₁），b=（x₂，y₂），若|a|=2，|b|=3，a•b=-6，则的值为（ ）
A．-2
B．2
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²-4在x=2处取得极值，若m、n∈[-1，1]，则f（m）+f′（n）的最小值为（ ）
A．-13
B．-15
C．10
D．15

12. 难度：中等

设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，内切球半径为r，四面体S-ABC的体积为V，则r=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

等比数列a_n的公比为q，前项和为S_n，已知a₃=3，S₃=9，则q=    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，则此切线方程为    ．

15. 难度：中等

观察式子：1+，1+，1+，…，则可归纳出式子为    ．

16. 难度：中等

已知函数y=f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]时，f（x）=x²，则函数y=f（x）与y=log₃|x|的图象的交点的个数为是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知不等式x²-x-m+1＞0．
（1）当m=3时解此不等式；
（2）若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+alnx．
（1）当a=-2时求f（x）的极值；
（2）若g（x）=f（x）+2x在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，=（b，2a-c），=（cosB，cosC），且∥
（1）求角B的大小；
（2）设f（x）=cos（ωx-）+sinx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

21. 难度：中等

各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p（p∈R）
（1）求常数p的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=，求数列{b_n}的前n项和T．

22. 难度：中等

已知函数，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b的取值范围．