2010-2011学年江苏省苏北九所重点高中联考高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若A={x∈Z|2≤2^x≤8}，B={x∈R|log₂x＞1}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

复数z=（i为虚数单位）的虚部是    ．

3. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是    ．

4. 难度：中等

按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是     ．

5. 难度：中等

已知等比数列{a_n}为递增数列，且a₃+a₇=3，a₂•a₈=2，则=    ．

6. 难度：中等

使函数f（x）=x+2cosx在[0，]上取最大值的x为    ．

7. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x-y+1=0垂直，则实数a=    ．

8. 难度：中等

如图是2008年“隆力奇”杯第13届CCTV青年歌手电视大奖赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为    ．

9. 难度：中等

已知函数，若f（x）≥1，则x的取值范围为    ．

10. 难度：中等

直线x+ay+6=0与直线（a-2）x+3y+2a=0平行的充要条件是    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=|log₂x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m²，n]上的最大值为2，则n+m=    ．

12. 难度：中等

在闭区间[-1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是    ．

13. 难度：中等

若不等式对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是k∈[m，+∞），则正整数m只能取     ．

14. 难度：中等

（理）已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b=m（m∈N*），则这样的三角形共有    个（用m表示）．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，，BC=1，．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）求的值．

16. 难度：中等

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分别是AB，A₁C的中点．
（1）求证：MN∥平面BCC₁B₁．
（2）求证：MN⊥平面A₁B₁C．
（3）求三棱锥M-A₁B₁C的体积．

17. 难度：中等

某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3-（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底）．

19. 难度：中等

已知点P（4，4），圆C：（x-m）²+y²=5（m＜3）与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2+（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的最大项；
（2）设b_n=，试确定实常数p，使得{b_n}为等比数列；
（3）设m，n，p∈N^*，m＜n＜p，问：数列{a_n}中是否存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知矩阵，点M（-1，-1），点N（1，1）．
（1）求线段MN在矩阵A对应的变换作用下得到的线段M′N′的长度；
（2）求矩阵A的特征值与特征向量．

22. 难度：中等

已知圆M的参数方程为x²+y²-4Rxcosα-4Rysinα+3R²=0（R＞0）．
（1）求该圆的圆心的坐标以及圆M的半径．
（2）若题中条件R为定值，则当α变化时，圆M都相切于一个定圆，试写出此圆的极坐标方程．

23. 难度：中等

投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

将这三个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求a的取值范围．

24. 难度：中等

在四棱锥S-OABC中，SO⊥平面OABC，底面OABC为正方形，且SO=OA=2，D为BC的中点，=λ，问是否存在λ∈[0，1]使⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．