2010-2011学年江苏省扬州市高邮中学高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是    ．

2. 难度：中等

已知复数z的实部为-1，虚部为2，则等于    ．

3. 难度：中等

若不等式x²+bx+c＜0的解集是（-1，2），则b+c=    ．

4. 难度：中等

已知等差数列a_n中，且a₃+a₇=10，则S₉=    ．

5. 难度：中等

棱长为2的正方体外接球的表面积是    ．

6. 难度：中等

不等式的解集是    ．

7. 难度：中等

设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中，正确命题的序号是    ．
①若l⊥平面α，m⊥平面α，则l∥m；
②若l⊥平面α，m⊂平面α，则l⊥m；
③若l∥平面α，l∥m，则m∥平面α；
④若l∥平面α，m∥平面α，则l∥m．

8. 难度：中等

已知等比数列{a_n}为递增数列，且a₃+a₇=3，a₂•a₈=2，则=    ．

9. 难度：中等

函数f（x）=x²lnx的单调递减区间为     ．

10. 难度：中等

已知α，β为锐角，且，，则sin（α+β）=    ．

11. 难度：中等

函数y=3^x-9^|x|（x∈R）的值域是    ．

12. 难度：中等

已知数列a_n满足，当n=    时，取得最小值．

13. 难度：中等

△ABC中，AB=3，BC=5，CA=7，点D是边AC上的点，且，则=    ．

14. 难度：中等

定义，已知实数x，y满足|x|≤2，|y|≤2，设z=max{x+y，2y-x}，则z的最小值是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知=（1，2），=（2，3），λ∈R．
（1）若向量与向量=（-4，-7）共线，求λ的值；
（2）若向量与向量=（3，-1）垂直，求||的值．

16. 难度：中等

如图，将两块三角板拼接成直二面角A-CB-D，其中DB⊥CB，∠DCB=30°，AB=AC，AB⊥AC，E、F分别是AB、BC的中点．
（1）求证：EF∥平面ACD；
（2）求证：平面DEF⊥平面ABD．

17. 难度：中等

已知等差数列a_n是递增数列，且满足a₅=3，S₆=12．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）令，数列b_n的前n项和S_n，若存在整数t，使S_n≤t对任意自然数n∈N^*恒成立，求t的最小值．

18. 难度：中等

养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）
（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3）哪个方案更经济些？

19. 难度：中等

设二次函数f（x）=ax²-4x+c（a＞0）．
（1）若f（1）=0，解不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），且f（1）≤4，则u=+的最大值．

20. 难度：中等

数列a_n的首项为a（a＞0），它的前n项的和是S_n．
（1）若数列a_n是等差数列，公差为d，d≠0，且数列也是等差数列，①求d；②求证：∑_i=1ⁿ＜．
（2）数列S_n是公比为q的等比数列，且q≠1，不等式S_n．≥ka_n对任意正整数n都成立，求k的值或k的取值范围．

21. 难度：中等

已知a，b∈R，若所对应的变换T_M把直线L：2x-y=3变换为自身，求实数a，b，并求M的逆矩阵．

22. 难度：中等

若一条曲线的极坐标方程为ρ=2，在以极点为原点，极轴为x轴的坐标系下，另一条曲线参数方程为，（θ 为参数）它们相交于A、B两点，求线段AB的长．

23. 难度：中等

在1，2，3…，8这8个自然数中，任取3个不同的数，（1）求这3个数中至少有1个是奇数的概率；（2）求这3个数和为12的概率．

24. 难度：中等

某单位举行新年猜谜获奖活动，每位参与者需要先后回答两道选择题：问题A有四个选项，问题B有六个选项，但都只有一个选项是正确的．正确回答问题A可获奖金a元，正确回答问题B可获奖金b元．活动规定：①参与者可任意选择回答问题的顺序；②如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止．
（1）若a=100，b=200时，某人决定先回答问题B，则他获得奖金的期望值为多少；
（2）一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题．试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大．