2006-2007学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，4}，B={2}，则集合A∩（∁_UB）等于（ ）
A．{1，2，3，4，5}
B．{1，4}
C．{1，2，4}
D．{3，5}

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，如果前5项的和为S₅=20，那么a₃等于（ ）
A．-2
B．2
C．-4
D．4

3. 难度：中等

已知实数a、b、c，则“ac=bc”是“a=b”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

4. 难度：中等

向量=（1，2），=（-2，3），若与共线，其中（m、n∈R，且n≠0），则=（ ）
A．
B．2
C．
D．-2

5. 难度：中等

已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；
④若m∥α，α∩β=n，则m∥n，
其中不正确的命题的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

6. 难度：中等

5个人站成一排，若甲乙两人之间恰有1人，则不同站法有（ ）
A．18种
B．24种
C．36种
D．48种

7. 难度：中等

两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a＞b，则双曲线的离心率e等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[-1.08]=-2，定义函数f（x）=x-[x]，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最大值为1
B．方程有且仅有一个解
C．函数f（x）是周期函数
D．函数f（x）是增函数

二、填空题

9. 难度：中等

抛物线y=-2x²的焦点坐标为    ．

10. 难度：中等

在的展开式中，x³的系数是    （用数字作答）

11. 难度：中等

函数的反函数f^-1（x）=    ．

12. 难度：中等

实数x，y满足不等式组，那么目标函数z=2x+4y的最小值是    ．

13. 难度：中等

已知棱长等于2的正四面体的四个顶点在同一个球面上，则球的半径长为    ，球的表面积为    ．

14. 难度：中等

给出下列四个命题：
①若函数；
②函数；
③当；
④若M是圆（x-5）²+（y+2）²=34上的任意一点，则点M关于直线y=ax-5a-2的对称点M′也在该圆上．
所有正确命题的序号是   

三、解答题

15. 难度：中等

已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），．
（1）若，求角α的值；
（2）若，求的值．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³-x²+bx+2（a，b∈R）在区间（-∞，0）及（4，+∞）上都是增函数，在区间（0，4）上是减函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程．

17. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AD=DC=3，DD₁=4，E是A₁A的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角E-BD-A的大小；
（Ⅲ）求点E到平面A₁BCD₁的距离．

18. 难度：中等

盒中装有8个乒乓球，其中6个是没有用过的，2个是用过的．
（Ⅰ）从盒中任取2个球使用，求恰好取出1个用过的球的概率；
（Ⅱ）若从盒中任取2个球使用，用完后装回盒中，求此时盒中恰好有4个是用过的球的概率．

19. 难度：中等

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，左焦点为F，左准线与x轴的交点为M，．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）过左焦点F且斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，若，求椭圆的方程．

20. 难度：中等

已知数列{x_n}满足，且T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+（2n-1）a_2n-1+2na_2n．
（Ⅰ）求x_n的表达式；
（Ⅱ）求T_2n；
（Ⅲ）若，试比较9T_2n与Q_n的大小，并说明理由