2008-2009学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|x-1≥0}，B={x||x|＞2}，则集合A∪B等于（ ）
A．{x|x≥1}
B．{x|x＞1或x＜-2}
C．{x|x＜-2或x＞2}
D．{x|x＜-2或x≥1}

2. 难度：中等

若向量=（1，2），=（-3，4），则•（+）等于（ ）
A．20
B．（-10，30）
C．54
D．（-8，24）

3. 难度：中等

已知函数f（x）=3^x，那么函数f（x）的反函数f^-1（x）的定义域为（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|x＞0}
C．{x|x＞0且x≠1}
D．R

4. 难度：中等

“，且sinα•cotα＜0”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（ ）
A．l∥m，l⊥α
B．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m，l∥α
D．l∥m，l∥α

6. 难度：中等

已知圆（x+2）²+y²=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

7. 难度：中等

已知有穷数列{a_n}（n=1，2，3，…，6）满足a_n∈{1，2，3，…，10}，且当i≠j（i，j=1，2，3，…，6）时，a_i≠a_j．若a₁＞a₂＞a₃，a₄＜a₅＜a₆，则符合条件的数列{a_n}的个数是（ ）
A．C₁₀³C₇³
B．C₁₀³C₁₀³
C．C₁₀³C₇³
D．C₁₀⁶C₆³

8. 难度：中等

如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m（0＜a＜12）、4m，不考虑树的粗细．现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数S=f（a）（单位m²）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

若双曲线的离心率为2，两焦点坐标为（-2，0），（2，0），则此双曲线的方程为    ．

10. 难度：中等

已知实数x，y满足则z=2x+4y的最大值为    ．

11. 难度：中等

已知的展开式中常数项为-160，那么a=    ．

12. 难度：中等

若A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，则此球的表面积为    ，A，B两点间的球面距离为    ．

13. 难度：中等

对于函数f（x）=sinx，g（x）=cosx，h（x）=x+，有如下四个命题：
①f（x）-g（x）的最大值为；
②f[h（x）]在区间上是增函数；
③g[f（x）]是最小正周期为2π的周期函数；
④将f（x）的图象向右平移个单位可得g（x）的图象．
其中真命题的序号是    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}的每一项都是非负实数，且对任意m，n∈N^*有a_m+n-a_m-a_n=0或a_m+n-a_m-a_n=1．
又知a₂=0，a₃＞0，a₉₉=33．则a₃=    ，a₁₀=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，且a、b、c互不相等，设a=4，c=3，A=2C．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）求b的值．

16. 难度：中等

在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验．已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响．
（Ⅰ）求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率；
（Ⅱ）求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件的概率．

17. 难度：中等

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2．
（Ⅰ）求证：PD⊥BC；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；
（Ⅲ）求点A到平面PBC的距离．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）证明数列{a_n-2}为等比数列；
（Ⅲ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

已知抛物线C：y²=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若m=1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（Ⅱ）若存在直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

已知f （x）、g（x）都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h （x）=m f（x）+ng（x），那么称h （x）为f （x）、g（x）在R上生成的一个函数．设f （x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R），l（x）=2x²+3x-1，h （x）为f （x）、g（x）在R上生成的一个二次函数．
（Ⅰ）设a=1，b=2，若h （x）为偶函数，求；
（Ⅱ）设b＞0，若h （x）同时也是g（x）、l（x）在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；
（Ⅲ）试判断h（x）能否为任意的一个二次函数，并证明你的结论．