2009-2010学年数学寒假作业（04）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合M={x|x-＜0}，N={x|2x+1＞0}，则M∩N=    ．

2. 难度：中等

已知复数z满足z²+1=0，则（z⁶+i）（z⁶-i）=    ．

3. 难度：中等

在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以100后进行分析，得出新样本平均数为3，则估计总体的平均数为     ．

4. 难度：中等

幂函数y=f（x）的图象经过点，则满足f（x）=64的x的值是    ．

5. 难度：中等

下列四个命题：
①∀n∈R，n²≥n；
②∀n∈R，n²＜n；
③∀n∈R，∃m∈R，m²＜n；
④∃n∈R，∀m∈R，m•n=m．
其中真命题的序号是    ．

6. 难度：中等

如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₇A₈=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记OA₁，OA₂，…OA_n，…的长度构成数列{a_n}，则此数列的通项公式为a_n=    ．

7. 难度：中等

给出一个算法：
Input  x
If  x≤0  then
f（x）=4x
Else
f（x）=2^x
End  if
Print  f（x）
End
根据以上算法，可求得f（-3）+f（2）的值为    ．

8. 难度：中等

在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆六个点．则•+•+•+•+•+•=    ．

9. 难度：中等

若f（x）=Asin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜π）对任意实数t，都有f（t+）=f（-t+）．记g（x）=Acos（ωx+φ）-1，则g（）=    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a|x|在（0，+∞）上单调递增，则f（-2）    f（a+1）．（填写“＜”，“=”，“＞”之一）

11. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交准线于点C．若，则直线AB的斜率为    ．

12. 难度：中等

有一根长为6cm，底面半径为0.5cm的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为     cm．

13. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

（理）已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b=m（m∈N*），则这样的三角形共有    个（用m表示）．

二、解答题

15. 难度：中等

从一副扑克牌的红桃花色中取5张牌，点数分别为1，2，3，4，5．甲、乙两人玩一种游戏：甲先取一张牌，记下点数，放回后乙再取一张牌，记下点数．如果两个点数的和为偶数就算甲胜，否则算乙胜．
（1）求甲胜且点数的和为6的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？说明理由．

16. 难度：中等

已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（1）当m+n＞0时，求椭圆离心率的范围；
（2）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．