2010-2011学年北京市东城区宏志中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

cos300°=（ ）
A．
B．-
C．
D．

2. 难度：中等

设P={x|x＜1}，Q={x|x²＜4}，则P∩Q（ ）
A．{x|-1＜x＜2}
B．{x|-3＜x＜-1}
C．{x|1＜x＜-4}
D．{x|-2＜x＜1}

3. 难度：中等

由曲线y=x²，y=x³围成的封闭图形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

“”是“tanx=1”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

复数z=在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

6. 难度：中等

为了得到函数y=sin（2x-）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位

7. 难度：中等

函数f（x）=的最小正周期为（ ）
A．
B．π
C．2π
D．4π

8. 难度：中等

函数f（x）=x³+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（-a）的值为（ ）
A．3
B．0
C．-1
D．-2

9. 难度：中等

下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x∈R，lgx=0
B．∃x∈R，tanx=1
C．∀x∈R，x³＞0
D．∀x∈R，2^x＞0

10. 难度：中等

设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a

11. 难度：中等

已知sina=，则cos（π-2a）=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

12. 难度：中等

函数f（x）=2^x+3x的零点所在的一个区间是（ ）
A．（-2，-1）
B．（-1，0）
C．（0，1）
D．（1，2）

13. 难度：中等

设a=log₅4，b=（log₅3）²，c=log₄5则（ ）
A．a＜c＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．b＜a＜c

14. 难度：中等

下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．

15. 难度：中等

如为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

16. 难度：中等

8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）
A．A₈⁸A₉²
B．A₈⁸C₉²
C．A₈⁸A₇²
D．A₈⁸C₇²

17. 难度：中等

函数的定义域为（ ）
A．（，1）
B．（，∞）
C．（1，+∞）
D．（，1）∪（1，+∞）

18. 难度：中等

现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A．152
B．126
C．90
D．54

19. 难度：中等

若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）-f（4）=（ ）
A．1
B．2
C．-2
D．-1

20. 难度：中等

已知函数F（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（3，+∞）
D．[3，+∞）

二、填空题

21. 难度：中等

命题“存在x∈R，使得x²+2x+5=0”的否定是    ．

22. 难度：中等

某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有    种．（用数字作答）

23. 难度：中等

（x-）⁴的展开式中的常数项为    （用数字作答）

24. 难度：中等

曲线y=xe^x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为    ．

25. 难度：中等

已知函数f（x）=若f（f（0））=4a，则实数a=    ．

26. 难度：中等

设函数f（x）=x-，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是    ．

三、解答题

27. 难度：中等

已知函数f（x）=sin2x-2sin²x
（I）求函数f（x）的最小正周期．
（II）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合．

28. 难度：中等

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．

29. 难度：中等

设定函数，且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4．
（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．

30. 难度：中等

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1
（I）求曲线在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若xf′（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：（x-1）f（x）≥0．